Để tính tan α từ giá trị của cos α, chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ giữa các hàm lượng giác:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Biết rằng \( \cos \alpha = -\frac{1}{3} \):

\[
\sin^2 \alpha + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1
\]

\[
\sin^2 \alpha + \frac{1}{9} = 1
\]

\[
\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\]

Do đó:

\[
\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}
\]

Tiếp theo, chúng ta tính tan α:

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = \mp 2\sqrt{2}
\]

Với việc sử dụng giá trị dương hoặc âm của sin tùy thuộc vào góc α nằm ở phần nào trong các phần của trục lượng giác.

Nếu α nằm trong phần II hoặc III, tan α sẽ âm. Nếu α nằm trong phần I hoặc IV, tan α sẽ dương.

Tuy nhiên, vì cos α âm (−1/3), α có thể nằm trong phần II hoặc III, vì vậy ta kết luận:

\[
\tan \alpha = -2\sqrt{2}
\]

Tính giá trị gần đúng đến hàng phần mười:

\[
\tan \alpha \approx -2.8
\]

Vậy kết quả là:

\[
\tan \alpha \approx -2.8
\]