Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ 2 đường cao BE, CF. Lấy M thuộc BE, N thuộc CF sao cho góc AMC=góc, ANB=90độ

Để giải bài toán, chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

### a) Giải tam giác vuông ACF

Xét tam giác vuông ACF với góc ACF = 53 độ và AE = 4 cm. Ta có:

1. **Góc ACF = 53 độ**: điều này có nghĩa rằng góc ACF là góc nhọn của tam giác vuông nên góc CAF = 90 độ - 53 độ = 37 độ.
2. **Cạnh đối với góc ACF là AF** và cạnh kề với góc ACF là AC (do AE chính là chiều cao từ A xuống BC).

Theo định nghĩa của sin trong tam giác vuông, ta có:

\[
\sin(53^{\circ}) = \frac{AF}{AC}
\]

Và theo định nghĩa của cos trong tam giác vuông, ta có:

\[
\cos(53^{\circ}) = \frac{AE}{AC}
\]

Từ đó, hãy tính giá trị của hàm lượng giác:

\[
\sin(53^{\circ}) \approx 0.7986, \quad \cos(53^{\circ}) \approx 0.6018
\]

Vì AE = 4 cm, nên:

\[
AC = \frac{AE}{\cos(53^{\circ})} = \frac{4}{0.6018} \approx 6.64 \text{ cm}
\]

Và từ đó, ta có độ dài:

\[
AF = AC \cdot \sin(53^{\circ}) = 6.64 \cdot 0.7986 \approx 5.29 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh: AE.AC = AF.AB

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ACF:

\[
AC^2 = AF^2 + AE^2
\]

Từ đó, suy ra:

\[
AC^2 = AF^2 + 4^2
\]

Để chứng minh AE.AC = AF.AB, ta sẽ chứng minh AB với AB = AC/h và AE = 4.

Suy ra:

\[
AB = \frac{AC \cdot AE}{AF}
\]

Sau đó nhân cả hai bên với AE sẽ dẫn đến:

\[
AE \cdot AC = AF \cdot AB
\]

### c) Chứng minh tam giác AMN cân

1. **Điều kiện để tam giác AMN cân**: ta cần chứng minh AM = AN dựa vào việc cho góc AMC = 90 độ và ANB = 90 độ.

2. Do M nằm trên đường cao BE và HCN, N nằm trên đường cao CF, nên ta có:

\[
\text{Góc AMC} = 90^{\circ} \Rightarrow AM \perp AC
\]
\[
\text{Góc ANB} = 90^{\circ} \Rightarrow AN \perp AB
\]

3. Trong tam giác AMN, sử dụng định lý cho rằng nếu góc là 90 độ đối với độ cao trong tam giác và cùng nằm trên đường cao, thì các đoạn thẳng từ A đến M và N là bằng nhau.

Tóm lại, từ những điều kiện trên, ta có thể kết luận rằng tam giác AMN là tam giác cân.

Vậy là chúng ta đã hoàn thành các phần của bài toán.