Giải hệ phương trình:

Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ phân tích từng phương trình một.

### Hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
4 \sqrt{1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x + 1)^2}} + 5y = \left(\sqrt{y} + 2\sqrt{y + 1}\right)^2 \\
4 \sqrt{1 + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{(y + 1)^2}} + 5x = \left(\sqrt{x} + 2\sqrt{x + 1}\right)^2
\end{cases}
\]

### Phân tích phương trình thứ nhất:

1. Đưa \( 5y \) sang bên trái và đánh giá biểu thức bên phải.
2. Thực hiện các phép biến đổi và thử số thực cho \( x, y \) (ví dụ: cho \( x = 1 \), \( y = 1 \)).
3. Xác định giá trị cụ thể của \( y \) sau khi tính toán.

### Phân tích phương trình thứ hai:

1. Tiến hành các phép biến đổi tương tự như phương trình thứ nhất.
2. Kiểm tra các giá trị cho \( x \) và xem \( y \) có thỏa mãn không.

### Gợi ý giải:

1. Giả định các giá trị cho \( x, y \) (ví dụ, thử \( x = 1 \), \( y = 1 \)).
2. Sử dụng máy tính để giải hoặc thực hiện các phép thử cho các giá trị khác.

### Kết quả thử nghiệm:

Sau khi thử nghiệm các giá trị, ta sẽ tìm ra được nghiệm của hệ phương trình. Lưu ý phải kiểm tra các điều kiện của \( x, y \) do chứa căn bậc hai trong biểu thức.

Thực hiện bước 1 và bước 2 sẽ cho ra nghiệm cuối cùng của hệ phương trình này.