Để chứng minh rằng \( \widehat{COD} = 90^\circ \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn, \( A \) và \( B \) là hai điểm trên đường tròn, là đầu mút của đường kính.
- \( Ax \) là tiếp tuyến tại điểm \( A \), và \( By \) là tiếp tuyến tại điểm \( B \).

2. **Tính chất tiếp tuyến**:
- Tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm đó. Do đó:
- \( OA \perp Ax \)
- \( OB \perp By \)

3. **Xét tứ giác \( OACD \)**:
- Ta có \( OC \) và \( OD \) là các đoạn thẳng nối từ tâm đường tròn đến các điểm \( C \) và \( D \) nằm trên hai tia \( Ax \) và \( By \) tương ứng.

4. **Chứng minh \( \widehat{COD} = 90^\circ \)**:
- Nhìn vào tam giác vuông \( OAB \):
- \( OA = OB \) (cùng bằng bán kính).
- \( OAC \) và \( OBD \) đều là các đoạn thẳng nối từ tâm tới tiếp tuyến, là đặc trưng của các tam giác vuông.
- Do tính chất vuông góc, \( \widehat{OAC} + \widehat{OAD} = 90^\circ \) (vì tiếp tuyến và bán kính vuông góc với nhau).

Vậy ta có:

\[
\widehat{COD} = \widehat{OAC} + \widehat{OAD} = 90^\circ
\]

**Kết luận**: Đã chứng minh rằng \( \widehat{COD} = 90^\circ \).