Ta có: ΔABC vuông tại A, đường cao AH nên

 ∠BAH + ∠CAH = 90° (1)

 ∠HAB + ∠HBA = 90° (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠CAH = ∠HBA

 Xét ΔAHC và ΔBHA có:

 ∠CAH = ∠HBA (cmt)

 ∠AHC = ∠BHA = 90°

 AH chung

=> ΔAHC đồng dạng ΔBHA (g.g)

=> AC/AB = AH/BH (tỉ số đồng dạng)

=> AC.BH = AB.AH

 Xét ΔABD và ΔEFC có:

 ∠BAD = ∠FEC = 90°

 ∠ABD = ∠EFC (cùng phụ với ∠HBA)

AB.AH = AC.BH (cmt)

=> ΔABD đồng dạng ΔEFC (c.g.c)

=> BD/FE = AB/EF

=> BD // FE (định lý Thales đảo)

 Từ ΔABD đồng dạng ΔEFC (cmt) => BD/FE = AB/EF

 Mà AB = EF (gt)

=> BD = FE

Kết luận:

Do BD // FE và BD = FE nên tứ giác BDFE là hình bình hành.

b) 

Ta có: F là trung điểm của EM => EF = FM

F là trung điểm của BN => BF = FN

 Xét ΔABF và ΔNFH có:

 BF = FN (cmt)

 ∠ABF = ∠NFH (đối đỉnh)

 ∠BAF = ∠FNH (cùng phụ với ∠AHF)

=> ΔABF đồng dạng ΔNFH (g.g)

=> AB/NH = AF/FH (tỉ số đồng dạng)

=> AB.FH = AF.NH

 Xét ΔAHF và ΔNHF có:

 ∠AHF = ∠NHF = 90°

 AF/FH = AB/NH (cmt)

 AH chung

=> ΔAHF đồng dạng ΔNHF (c.g.c)

=> ∠FAH = ∠FNH

 Mà ∠FAH + ∠HAN = 180°

=> ∠FNH + ∠HAN = 180°

=> AN // FM (hai góc trong cùng phía bù nhau)

 Tương tự, ta chứng minh được ΔAEC đồng dạng ΔMFE (g.g)

=> AC/ME = AE/MF (tỉ số đồng dạng)

=> AC.MF = AE.ME

 Xét ΔAME và ΔCME có:
 ∠AME = ∠CME = 90°

 AE/MF = AC/ME (cmt)

 AM chung

=> ΔAME đồng dạng ΔCME (c.g.c)

=> ∠EAM = ∠ECM

 Mà ∠EAM + ∠MAN = 180°

=> ∠ECM + ∠MAN = 180°

=> AM // FN (hai góc trong cùng phía bù nhau)

3. Kết luận:

 Ta có: AN // FM và AM // FN

 Mà F là trung điểm của EM và BN

=> A, N, M thẳng hàng (theo tính chất đường trung bình của tam giác).