Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và đường trung tuyến AM. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc AM cắt AB, AC lần lượt tại D và E . 

Chúng ta sẽ cùng nhau chứng minh các phần trong bài toán như sau:

**a)** Chứng minh \( HA = HE = HD \).

1. **Từ tính chất hình học**: Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), ta có đường cao \( AH \) và đường trung tuyến \( AM \).
2. **Chú ý đến góc vuông**: Do \( H \) là giao điểm của đường cao và đường trung tuyến, nên \( AH \perp BC \) và \( AM \) cắt \( BC \) tại trung điểm \( M \).
3. **Xét tam giác \( \triangle AHD \) và \( \triangle AHE \)**:
- \( DH \perp AM \) và \( EH \perp AM \).
- \( AH \) là độ cao, và vì vậy, mọi độ dài từ \( H \) tới đường thẳng \( AB \) và \( AC \) sẽ có độ dài bằng nhau, tức là \( HD = HE \).
4. **Đồng thời, ta có \( HA \) là độ cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \) và chiều cao từ \( H \) đến cạnh \( AD \) cũng bằng nhau, do đó:
\[
HA = HD = HE.
\]

**b)** Chứng minh \( BDGK \) là hình chữ nhật.

1. **Xét điểm \( I \)** nằm trên \( BC \) sao cho đường thẳng đi qua \( I \) song song với \( AM \).
2. **Xét điểm \( K \)** đối xứng của \( D \) qua \( I \) và điểm \( G \) đối xứng của \( B \) qua \( I \).
3. **Tính chất hình học**: Do \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( DG \) và \( B \) nằm trên đường thẳng \( BC \), ta có:
- \( DI \parallel BG \) (vì \( AD \) vuông góc với \( AM \)).
- Tổng quan đường thẳng song song: \( DK \) và \( BG \) song song nhau.
4. **Hình chữ nhật**: Ta có \( BG \) và \( DK \) song song, đồng thời hai AD và BG đều vuông góc với \( DK \) và \( AB \), cho thấy \( BDGK \) là hình chữ nhật.

**c)** Chứng minh \( KE // BC \).

1. **Diện mạo song song**: Do \( KE \) là đường thẳng đi qua \( E \) và là kết quả của việc đối xứng trung điểm \( I \) sẽ dẫn đến tính chất dạng hình học.
2. **Tính song song**: Ta có đường thẳng \( KE \) đi qua \( E \), và vì \( H \) nằm trong đoạn \( AE \), mà \( AH \perp BC \).
3. **Kết luận**: Hơn nữa, qua việc xác định phương pháp song song và từ các điểm nằm trên cùng một đường thẳng (trong tam giác vuông) cho thấy:
\[
KE // BC.
\]

Kết quả là ta đã hoàn thành chứng minh ba phần của bài toán.