Để xác định vị trí đặt cột đèn và chiều cao tối thiểu của cột đèn trong công viên hình tam giác với 3 cạnh cho trước, trước tiên chúng ta cần tính diện tích của tam giác.

Cạnh của tam giác là \( a = 20 \, m \), \( b = 25 \, m \), và \( c = 34 \, m \). Sử dụng định lý Heron để tính diện tích của tam giác:

1. Tính chu vi \( p \):
\[
p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{20 + 25 + 34}{2} = 39.5 \, m
\]

2. Tính diện tích \( S \):
\[
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{39.5(39.5-20)(39.5-25)(39.5-34)}
\]

Tính từng phần:
- \( p-a = 39.5 - 20 = 19.5 \)
- \( p-b = 39.5 - 25 = 14.5 \)
- \( p-c = 39.5 - 34 = 5.5 \)

Tiến hành tính diện tích:
\[
S = \sqrt{39.5 \times 19.5 \times 14.5 \times 5.5}
\]

Sau khi tính toán, ta có:
\[
S \approx \sqrt{39.5 \times 19.5 \times 14.5 \times 5.5} \approx \sqrt{55865.187} \approx 236.05 \, m^2
\]

3. Để chiếu sáng toàn bộ công viên, cột đèn cần phải được đặt tại trung tâm của tam giác. Tuy nhiên, để xác định chiều cao tối thiểu của cột đèn, chúng ta cần biết chi tiết về góc chiếu sáng.

Góc 57 độ ở đây có thể sẽ là góc giữa tia sáng từ cột đèn và mặt đất. Sử dụng công thức hạ chiều cao cột đèn cần thiết để chiếu sáng diện tích từ cột đến các cạnh của tam giác:

\[
H = \frac{d}{\tan(\theta)}
\]
Trong đó \( \theta \) là góc 57 độ và \( d \) là khoảng cách từ cột đến điểm cần chiếu sáng.

Chúng ta sẽ cần xác định khoảng cách từ cột đèn đến các cạnh của tam giác. Do diện tích đã được tính, ta sẽ lựa chọn khoảng cách từ cột đèn đến cạnh (d), nhưng trước đó chúng ta sẽ tính độ dài đường cao từ cột đèn đến cạnh:

Vì tam giác dạng này không có thông tin cụ thể về vị trí cột đèn hay chiều cao, nhưng chiều cao tối thiểu sẽ được tính từ:
- Tình huống xấu nhất là chiều cao chỉ cần đủ để đến sát cạnh tam giác. Trong trường hợp này, chúng ta lấy cạnh dài nhất để tính d (cũng sẽ là 34m).
- Sử dụng công thức chiều cao tối thiểu:

\[
H = \frac{34}{\tan(57^\circ)}
\]

Chúng ta tính giá trị của \( \tan(57^\circ) \approx 1.5399 \):
\[
H = \frac{34}{1.5399} \approx 22.08 m
\]

Do đó, chiều cao tối thiểu của cột đèn nên là khoảng \( \approx 22.08 \, m \).

Tóm lại:
- Vị trí cột đèn: Trung tâm tam giác (có thể tìm bằng cách tính toạ độ trung điểm của các đỉnh hoặc theo thuật toán vị trí).
- Chiều cao tối thiểu của cột đèn: Khoảng 22.08m để đảm bảo chiếu sáng toàn bộ không gian của công viên.