Chứng minh với mọi a, b ta có: (a^2 + b^2)/2 >= (a+b/ 2)^2

Để chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi \( a, b \):

\[
\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2
\]

Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc phương pháp khai triển.

### Bước 1: Khai triển phía bên phải
Ta có:

\[
\left( \frac{a + b}{2} \right)^2 = \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}
\]

### Bước 2: So sánh hai vế
Ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}
\]

### Bước 3: Nhân cả hai vế với 4 để bỏ đi mẫu số
Ta có:

\[
4 \cdot \frac{a^2 + b^2}{2} \geq a^2 + 2ab + b^2
\]

Điều này tương đương với:

\[
2(a^2 + b^2) \geq a^2 + 2ab + b^2
\]

### Bước 4: Rút gọn
Ta có thể sắp xếp lại:

\[
2a^2 + 2b^2 \geq a^2 + 2ab + b^2
\]

Điều này tương đương với:

\[
a^2 - 2ab + b^2 \geq 0
\]

### Bước 5: Nhận dạng là bình phương
Ta có thể thấy rằng:

\[
(a - b)^2 \geq 0
\]

### Kết luận
Do đó, bất đẳng thức ban đầu:

\[
\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2
\]

là đúng với mọi \( a, b \).