Cho hệ bất phương trình \[ \begin{cases} x - y \leq 2 \\ 3x + 5y \leq 15 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} \] có miền nghiệm là miền \( D \)

Để giải hệ bất phương trình cho miền \( D \), ta sẽ làm từng bước theo yêu cầu:

### a) Viết hệ bất phương trình dưới dạng hệ bậc nhất hai ẩn.
Hệ bất phương trình đã cho là:
\[
\begin{cases}
x - y \leq 2 \\
3x + 5y \leq 15 \\
x \geq 0 \\
y \geq 0
\end{cases}
\]

### b) Kiểm tra điểm \((x, y) = (2, 2)\):
- Tính:
1. \( 2 - 2 = 0 \leq 2 \) (Đúng)
2. \( 3(2) + 5(2) = 6 + 10 = 16 \not\leq 15\) (Sai)

Điểm \((2, 2)\) không phải là nghiệm của hệ.

### c) Tìm miền nghiệm \( D \):
- Giải từng bất phương trình:
1. Từ \( x - y \leq 2 \) chuyển thành \( y \geq x - 2 \).
2. Từ \( 3x + 5y \leq 15 \) chuyển thành \( y \leq \frac{15 - 3x}{5} \).
3. Có điều kiện \( x \geq 0 \) và \( y \geq 0 \).

### Tìm giao điểm:
- Xác định giao điểm của các đường:
1. \( y = x - 2 \).
2. \( y = \frac{15 - 3x}{5} \).

Thay \( y = x - 2 \) vào \( y = \frac{15 - 3x}{5} \):
\[
x - 2 = \frac{15 - 3x}{5}
\]
Giải phương trình này:
\[
5(x - 2) = 15 - 3x \implies 5x - 10 = 15 - 3x \implies 8x = 25 \implies x = \frac{25}{8}
\]

Thay \( x \) vào \( y \):
\[
y = \frac{25}{8} - 2 = \frac{25}{8} - \frac{16}{8} = \frac{9}{8}
\]

**Giao điểm** là \( \left( \frac{25}{8}, \frac{9}{8} \right) \).

### Diện tích miền \( D \):
- Các điểm như đã cho \( A(0, 3) \), \( B\left( \frac{25}{8}, \frac{9}{8} \right) \), \( C(2, 0) \), \( O(0, 0) \).

### d) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F(x, y) = x - y \) trên miền \( D \):
- Tính giá trị \( F \) tại các đỉnh:
1. \( A(0, 3) \): \( F(0, 3) = 0 - 3 = -3 \)
2. \( B\left( \frac{25}{8}, \frac{9}{8} \right) \): \( F\left( \frac{25}{8}, \frac{9}{8} \right) = \frac{25}{8} - \frac{9}{8} = \frac{16}{8} = 2 \)
3. \( C(2, 0) \): \( F(2, 0) = 2 - 0 = 2 \)
4. \( O(0, 0) \): \( F(0, 0) = 0 - 0 = 0 \)

Giá trị nhỏ nhất của \( F \) trên miền \( D \) là \(-3\).

### Kết luận:
1. Hệ bất phương trình đã cho là hệ bậc nhất hai ẩn.
2. Điểm \((2, 2)\) không phải là nghiệm.
3. Miền nghiệm của hệ đã xác định.
4. Giá trị nhỏ nhất của \( F(x, y) = x - y \) trên miền \( D \) là \(-3\).