Để giải bài toán này, ta có thể đặt:

- Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình là \( x \) giờ.
- Thời gian vòi thứ hai chảy một mình là \( x + 4 \) giờ.

Tốc độ chảy của vòi thứ nhất là \( \frac{1}{x} \) bể/giờ và tốc độ chảy của vòi thứ hai là \( \frac{1}{x+4} \) bể/giờ.

Khi hai vòi cùng hoạt động, tổng tốc độ sẽ là:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}
\]

Theo đề bài, hai vòi cùng chảy trong 3 giờ 45 phút (hay \( \frac{15}{4} \) giờ) để đầy bể, nên ta có phương trình:

\[
\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}\right) \cdot \frac{15}{4} = 1
\]

Giải phương trình này:

1. Nhân cả hai vế với \( 4x(x+4) \) để loại mẫu:

\[
4(x+4) \cdot 15 + 4x \cdot 15 = 4x(x+4)
\]

2. Rút gọn và giải phương trình đa thức:

\[
60x + 240 + 60x = 4x^2 + 16x
\]

3. Sắp xếp lại để thành phương trình bậc hai:

\[
4x^2 - 104x - 240 = 0
\]

4. Dùng công thức nghiệm để tìm \( x \):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 4, b = -104, c = -240 \):

\[
b^2 - 4ac = (-104)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-240) = 10816 + 3840 = 14656
\]

\[
x = \frac{104 \pm \sqrt{14656}}{8}
\]

Giải để tìm nghiệm dương thực tế.

Sau khi hoàn tất tính toán, bạn sẽ tìm được thời gian cho vòi thứ nhất và thứ hai.

Hy vọng hướng dẫn này sẽ giúp bạn giải bài toán!