Để giải bài toán, ta thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh \( ADME \) là hình bình hành.

**Chứng minh:**
- Vì \( MD \parallel AC \) và \( ME \parallel AB \), suy ra \( AD \) và \( AE \) đều là các đường vuông góc với cạnh BC.
- Theo tính chất của hình bình hành: Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, ta có:
\[
AD = ME \quad \text{và} \quad AE = MD
\]
- Do đó, tứ giác \( ADME \) có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, suy ra \( ADME \) là hình bình hành.

### b) \( \angle EMC \) là tam giác gì?

**Chứng minh:**
- Xét tứ giác \( ADME \), với \( MD \parallel AC \) và \( ME \parallel AB \), tổng các góc trong tứ giác bằng \( 360^\circ \).
- Vì \( \triangle ABC \) là tam giác vuông tại A và \( M \) nằm trên cạnh BC, khi kéo dài các đường song song, ta có:
\[
\angle MAB = \angle EMA \quad \text{và} \quad \angle MAC = \angle MDC
\]
- Suy ra, \( \angle EMC \) là một góc biến đổi, và do đó \( \triangle EMC \) có thể là tam giác vuông, cân hoặc tùy thuộc vào vị trí của M trên cạnh BC.

### c) So sánh \( MD + ME \) với \( AC \).

**Chứng minh:**
- Theo định nghĩa của các đoạn vuông góc trong hình bình hành:
\[
MD + ME \leq AC
\]
- Điều này đúng bởi vì \( AC \) là cạnh lớn hơn so với tổng hai đoạn thẳng vuông góc thuộc hình bình hành \( ADME \).

### Kết luận
- \( ADME \) là hình bình hành.
- \( \angle EMC \) tùy thuộc vào vị trí M.
- \( MD + ME < AC \) trong một số trường hợp, nhưng có thể bằng nhau khi M là trung điểm BC.