Để giải bài toán về tam giác vuông ABC, chúng ta cần xác định các thông tin từ đề bài.

### Phân tích bài toán
Tam giác ABC vuông tại A, có \( AH \) là đường cao hạ từ A xuống cạnh BC. Chúng ta biết:

- \( AC = 4 \) cm
- Góc \( BAH = 60^\circ \)

### a. Tính góc B, góc C, cạnh AB

- **Tính góc B và C**:
- Tam giác ABC vuông tại A, vì vậy \( \angle B + \angle C = 90^\circ \).
- Theo giả thiết, \( \angle BAH = 60^\circ \). Khi đó, \( \angle B = \angle BAH + \angle HAC = 60^\circ + \angle HAC \).
- Vì \( \angle BAC \) là một góc vuông (90°), nên \( \angle HAC = 90° - \angle BAH = 90° - 60° = 30° \).
- Vậy, \( \angle B = 60^\circ \) và \( \angle C = 30^\circ \).

- **Tính cạnh AB**:
- Trong tam giác vuông ABC, ta có thể sử dụng định lý sin:

\[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow \frac{4}{\sin 60^\circ} = \frac{AB}{\sin 30^\circ}
\]

Biết rằng \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) và \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), nên:

\[
\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AB}{\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = 2 \cdot AB
\]

Rút gọn:

\[
\frac{8}{\sqrt{3}} = 2 \cdot AB \Rightarrow AB = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31 \text{ cm}
\]

### b. Tính HC và HB

Sử dụng định lý Pythagoras và tính tỉ lệ theo đường cao.

- Đặt \( HC = x \), theo định lý Pythagoras trong tam giác AHC (vuông tại H):

\[
AH^2 + HC^2 = AC^2 \Rightarrow AH^2 + x^2 = 4^2 \Rightarrow AH^2 + x^2 = 16
\]

- Để tính \( AH \), sử dụng tỉ lệ từ góc:

\[
AH = AC \cdot \sin B = 4 \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \text{ cm}
\]

- Giờ thay \( AH \) vào phương trình:

\[
(2\sqrt{3})^2 + x^2 = 16 \Rightarrow 12 + x^2 = 16 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2
\]

Vậy \( HC = 2 \) cm.

- Đối với \( HB \):

Ta có \( HB + HC = AB \), tức là \( HB = AB - HC = \frac{4}{\sqrt{3}} - 2 \).

### Tổng kết:
- Các kết quả là:
- Góc B = \( 60^\circ \), góc C = \( 30^\circ \), cạnh AB = \( \frac{4}{\sqrt{3}} \) cm (khoảng 2.31 cm).
- HC = 2 cm, HB = \( \frac{4}{\sqrt{3}} - 2 \text{ cm} \approx 0.31 \) cm.