Tứ giác MNCB là hình gì; vì sao?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a. Tứ giác MNCB là hình gì và vì sao?

Đầu tiên, ta xét tứ giác \(MNCB\):

- \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) trong tam giác \(ABC\).
- Điểm \(E\) nằm trên tia đối của \(NM\) sao cho \(EN = NM\).

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng tứ giác \(MNCB\) là hình chữ nhật.

1. **Tính chất trung điểm**: Do \(M\) và \(N\) là trung điểm, ta có:
\[
MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC
\]
trong tam giác \(ABC\) cân. Điều này tạo ra hai cạnh \(MN\) bằng nhau.

2. **Xét góc**: Vì \(E\) nằm trên tia đối của \(NM\) và \(EN = NM\), nên \(\angle ENM = 180^\circ - \angle NMB\), mà \(\angle NMB\) là góc vuông (bởi vì \(AB\) và \(AC\) bằng nhau).

3. **Kết luận**: Do đó, các điểm \(M, N, C, B\) tạo thành một hình chữ nhật. Điều này có nghĩa là \(MNCB\) là hình chữ nhật.

### b. Chứng minh \(BN = AE\)

1. **Xét đoạn thẳng**: Ta có:
\[
EN = NM
\]
và \(N\) là trung điểm của \(AC\), do đó đoạn thẳng \(AN\) bằng nửa chiều dài của cạnh \(AB\).

2. **Sử dụng tính chất của hình chữ nhật**: Trong hình chữ nhật, các cạnh đối diện đều bằng nhau. Do đó ta có:
\[
AE = EN = NM = BN
\]

### c. Tìm điều kiện của tam giác \(ABC\) để tứ giác \(AMCE\) là hình chữ nhật

Để tứ giác \(AMCE\) là hình chữ nhật, chúng ta cần các góc vuông tại các đỉnh hoặc các cạnh đối diện bằng nhau.

1. **Điều kiện đủ**: Tứ giác ​\(AMCE\) sẽ là hình chữ nhật nếu và chỉ nếu \(AM\) vuông góc với \(MC\) và \(AE\) vuông góc với \(EM\).

2. **Căn cứ vào tam giác cân**: Trong tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), ta phải có:
\[
AB \perp AC \Rightarrow \text{Tam giác ABC có thể là đường cao}
\]
Điều đó có nghĩa là góc giữa \(AB\) và \(AC\) phải bằng \(90^\circ\).

Vì vậy, điều kiện để tứ giác \(AMCE\) là hình chữ nhật là tam giác \(ABC\) phải là tam giác vuông (nhưng có thể vuông tại \(A\)).

**Tóm lại:**

- Tứ giác \(MNCB\) là hình chữ nhật vì có các cạnh bằng nhau và góc vuông.
- Chứng minh \(BN = AE\) thực hiện qua việc so sánh các cạnh.
- Tứ giác \(AMCE\) là hình chữ nhật nếu tam giác \(ABC\) vuông ở đỉnh \(A\).