Chứng minh bài toán hình học này như sau:

### a) IA tiếp xúc với (O’)

Gọi I là giao điểm của tiếp tuyến tại A với HK. Vì IA là tiếp tuyến của (O) tại A, nên IA vuông góc với bán kính OA. Bởi vì (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, nên OA là bán kính của (O) và IA cũng là bán kính của (O’). Do đó, IA tiếp xúc với (O’).

### b) I là trung điểm của HK

Vì H và K lần lượt là các điểm tiếp xúc của (O) và (O’) với đường thẳng d, và do tính chất của các tiếp điểm, ta có rằng khoảng cách từ H đến A và từ K đến A bằng nhau. Nên I chính là trung điểm của HK.

### c) ∆HAK vuông

Từ a) ta biết IA vuông góc với OA. Vì HK tiếp xúc với cả hai đường tròn (O) và (O’) tại H và K, nên đường thẳng HK vuông góc với các bán kính OH và OK tại các điểm tiếp xúc H và K. Do đó, ∆HAK là tam giác vuông tại A.

### d) ĐOIO’ vuông

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của (O) và (O’). Ta đã chứng minh là H, K, I lần lượt là tiếp điểm của (O) và (O’) với đường thẳng d và I là trung điểm của HK. Suy từ tính chất của hai tiếp tuyến, ta có hai tam giác OAI và O’AI đều vuông tại A. Vậy, DOIO’ vuông.

### e) Gọi OI giao HA tại M, O’I giao AK tại E. Tứ giác AMIE là hình gì?

Tứ giác AMIE là tứ giác đối xứng. Bởi vì I là trung điểm của HK và AM, AE lần lượt là đoạn thẳng nối giữa các điểm tiếp xúc. Do đó, AM || IE và AI || ME. Tứ giác AMIE là hình hình chữ nhật nếu tất cả các góc đều vuông, và nếu không, thì đó là một tứ giác đối xứng thông thường.

Bạn có thể thực hiện các bước trên để rõ hơn trong từng phần chứng minh. Nếu có thắc mắc chi tiết nào, vui lòng cho mình biết!