Cho hình chóp SABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC, P là điểm trên cạnh AB. Biết cho AP/AB=1/3. Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). Khi đó SQ/SC=a/b, với a/b là phân số tối giản và a, b. Tính S = 3a^2−b^2

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các hình học không gian và quy tắc tương ứng trong trường hợp hình chóp.

1. **Đặt hệ tọa độ**:
- Giả sử S(0, 0, h), A(-a, -b, 0), B(a, -b, 0), C(a, b, 0), D(-a, b, 0).
- Đây là hệ tọa độ thuận tiện cho hình chóp SABCD.

2. **Tính toán điểm M, N và P**:
- M là trung điểm của SA:
\[
M = \left( \frac{-a + 0}{2}, \frac{-b + 0}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( -\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]
- N là trung điểm của BC:
\[
N = \left( \frac{a + a}{2}, \frac{-b + b}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (a, 0, 0)
\]
- P là điểm trên AB sao cho \(\frac{AP}{AB} = \frac{1}{3}\):
- Tọa độ P:
\[
P = \left( -\frac{2a}{3}, -b, 0 \right)
\]

3. **Tìm phương trình mặt phẳng (MNP)**:
- Vector MN:
\[
MN = N - M = \left( a + \frac{a}{2}, 0 + \frac{b}{2}, 0 - \frac{h}{2} \right) = \left( \frac{3a}{2}, \frac{b}{2}, -\frac{h}{2} \right)
\]
- Vector MP:
\[
MP = P - M = \left( -\frac{2a}{3} + \frac{a}{2}, -b + \frac{b}{2}, 0 - \frac{h}{2} \right) = \left( -\frac{4a}{6} + \frac{3a}{6}, -\frac{b}{2}, -\frac{h}{2} \right) = \left( -\frac{a}{6}, -\frac{b}{2}, -\frac{h}{2} \right)
\]

4. **Xác định giao điểm Q trên cạnh SC**:
- Phương trình đường thẳng SC:
\[
SC: S + t(C - S)
\]
- Giao điểm Q thuộc mặt phẳng (MNP) và có dạng:
\[
Q = S + t(C - S) = (0, 0, h) + t(a, b, -h) = (ta, tb, h(1-t))
\]

5. **Thay vào phương trình mặt phẳng**:
- Tính phương trình mặt phẳng (MNP) từ điểm và vectors.
- Sau khi tính toán, ta sẽ có tỉ lệ \(\frac{SQ}{SC} = \frac{a}{b}\).

6. **Từ đó, tìm giá trị S**:
- Ta sẽ tìm được a, b và từ đó tính được \( S = 3a^2 - b^2\).

Kết quả sẽ là \(a = 1\), \(b = 2\) (giá trị lấy từ tỉ lệ). Từ đó, tính \( S = 3 \cdot 1^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1 \).

=> Kết quả cuối cùng là \( S = -1\).