Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R

a) Ta có:
- Vì AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên tam giác AEM vuông tại E.
- Vì MP vuông góc với AB nên tam giác APM vuông tại P.
- Vì MQ vuông góc với AE nên tam giác AEM vuông tại Q.
Do đó, ta có tứ giác AEMQ nội tiếp đường tròn và hình chữ nhật APMQ.

b) Ta có:
- Vì AEMQ nội tiếp đường tròn nên góc AEM = góc AQM và góc EQM = góc EAM.
- Vì APMQ là hình chữ nhật nên góc APM = 90 độ và góc AQM = 90 độ.
Do đó, ta có góc AEM = góc AQM = 90 độ và góc EQM = góc EAM = 90 độ.
Vậy, ta có tứ giác AEMQ là tứ giác nội tiếp đường tròn và hình chữ nhật.

c) Ta có:
- Vì O là trung điểm của đường tròn (O) nên EO là đường phân giác của góc AEM.
- Vì I là trung điểm của PQ nên IP = IQ.
- Vì APMQ là hình chữ nhật nên IP = IM.
Do đó, ta có tam giác EIO đồng dạng tam giác EMI.
Vậy, ta có O, I, E thẳng hàng.

d) Ta có:
- Vì tam giác AEM và tam giác MPB đồng dạng nên góc EAM = góc MPB và góc AEM = góc MBP.
- Vì tam giác AEM và tam giác MPB đồng dạng nên góc EMA = góc MPB và góc AEM = góc MBP.
Do đó, ta có tam giác EAO và tam giác MPB đồng dạng.
Vậy, K là trung điểm của MP.