Để giải các hệ phương trình này, ta sẽ lần lượt giải từng bài.

### Bài 4:
Hệ phương trình:
1. \( 3x + (6 + y^2)x^2 + 2xy = 0 \)
2. \( x^2 - x + y = -3 \)

**Bước 1:** Giải phương trình thứ hai để tìm \( y \) theo \( x \):
\[ x^2 - x + y = -3 \]
\[ y = -3 - x^2 + x \]

**Bước 2:** Thay \( y \) vào phương trình thứ nhất:
\[ 3x + (6 + (-3 - x^2 + x)^2)x^2 + 2x(-3 - x^2 + x) = 0 \]

**Bước 3:** Giải phương trình này để tìm \( x \), sau đó thay ngược lại để tìm \( y \).

### Bài 5:
Hệ phương trình:
1. \( x^2 + y^2 + xy + 1 = 4y \)
2. \( y(x + y) = 2x^2 + 7y + 2 \)

**Bước 1:** Giải phương trình thứ nhất để tìm \( y \) theo \( x \):
\[ x^2 + y^2 + xy + 1 = 4y \]
\[ x^2 + y^2 + xy + 1 - 4y = 0 \]
\[ x^2 + y^2 + xy - 4y + 1 = 0 \]

**Bước 2:** Giải phương trình thứ hai để tìm \( y \) theo \( x \):
\[ y(x + y) = 2x^2 + 7y + 2 \]
\[ yx + y^2 = 2x^2 + 7y + 2 \]
\[ y^2 + yx - 7y = 2x^2 + 2 \]

**Bước 3:** Kết hợp hai phương trình để tìm \( x \) và \( y \).

### Bài 6:
Hệ phương trình:
1. \( x(x + y + 1) - 3 = 0 \)
2. \( (x + y)^2 + 1 = \frac{5}{x^2} \)

**Bước 1:** Giải phương trình thứ nhất để tìm \( y \) theo \( x \):
\[ x(x + y + 1) - 3 = 0 \]
\[ x^2 + xy + x - 3 = 0 \]
\[ xy = 3 - x^2 - x \]
\[ y = \frac{3 - x^2 - x}{x} \]

**Bước 2:** Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[ (x + \frac{3 - x^2 - x}{x})^2 + 1 = \frac{5}{x^2} \]
\[ (x + \frac{3 - x^2 - x}{x})^2 + 1 = \frac{5}{x^2} \]

**Bước 3:** Giải phương trình này để tìm \( x \), sau đó thay ngược lại để tìm \( y \).

Lưu ý: Các bước trên chỉ là hướng dẫn cơ bản để giải hệ phương trình. Trong thực tế, bạn có thể cần sử dụng các phương pháp giải phương trình phức tạp hơn hoặc sử dụng phần mềm tính toán để tìm nghiệm chính xác.