### Bài 3:
Cho tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) có \( AB < AC \). M là trung điểm của \( BC \). Kẻ \( ME \) vuông góc với \( AB \) (E thuộc \( AB \)). Kẻ \( MF \) vuông góc với \( AC \) (F thuộc \( AC \)).

#### a) Chứng minh \( EF = \frac{BC}{2} \)

- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( MB = MC = \frac{BC}{2} \).
- \( ME \) vuông góc với \( AB \) và \( MF \) vuông góc với \( AC \), nên \( ME \parallel AC \) và \( MF \parallel AB \).
- Tứ giác \( MEFC \) là hình chữ nhật vì có \( ME \parallel AC \) và \( MF \parallel AB \), đồng thời \( ME \perp AB \) và \( MF \perp AC \).
- Trong hình chữ nhật \( MEFC \), \( EF \) là đường chéo nối hai điểm giữa của hai cạnh đối diện, do đó \( EF = \frac{BC}{2} \).

#### b) Gọi \( AK \) là đường cao của tam giác \( ABC \). Chứng minh \( KMFE \) là hình thang cân

- \( AK \) là đường cao của tam giác \( ABC \), nên \( AK \perp BC \).
- \( ME \perp AB \) và \( MF \perp AC \), nên \( ME \parallel AC \) và \( MF \parallel AB \).
- Do đó, \( ME \parallel AK \) và \( MF \parallel AK \), nên \( ME \parallel MF \).
- Tứ giác \( KMFE \) có hai cạnh đối song song là \( ME \parallel MF \), nên \( KMFE \) là hình thang.
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( AK \) là đường cao, nên \( AK \) chia \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau, do đó \( KM = KF \).
- Do đó, hình thang \( KMFE \) là hình thang cân.

### Bài 4:
Cho tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) có \( AH \) là đường cao. Gọi \( P \) và \( Q \) lần lượt là hình chiếu của \( H \) xuống \( AB \), \( AC \). Gọi \( I \) là trung điểm của \( HB \), \( K \) là trung điểm của \( HC \) cắt \( PQ \) ở \( O \).

#### a) Tứ giác \( APHQ \) là hình gì?

- \( AH \) là đường cao của tam giác \( ABC \), nên \( AH \perp BC \).
- \( P \) là hình chiếu của \( H \) xuống \( AB \), nên \( HP \perp AB \).
- \( Q \) là hình chiếu của \( H \) xuống \( AC \), nên \( HQ \perp AC \).
- Do đó, tứ giác \( APHQ \) có hai góc vuông tại \( P \) và \( Q \), nên \( APHQ \) là hình chữ nhật.

#### b) Chứng minh tam giác \( KQH \) là tam giác cân

- \( K \) là trung điểm của \( HC \), nên \( HK = KC \).
- \( HQ \) là đường cao từ \( H \) đến \( AC \), nên \( HQ \perp AC \).
- Do đó, tam giác \( KQH \) có \( HK = KC \) và \( HQ \perp AC \), nên tam giác \( KQH \) là tam giác cân tại \( H \).

#### c) Chứng minh góc \( KPQ = 90^\circ \) và \( PI \parallel QK \)

- \( I \) là trung điểm của \( HB \), nên \( HI = IB \).
- \( K \) là trung điểm của \( HC \), nên \( HK = KC \).
- \( P \) là hình chiếu của \( H \) xuống \( AB \), nên \( HP \perp AB \).
- \( Q \) là hình chiếu của \( H \) xuống \( AC \), nên \( HQ \perp AC \).
- Do đó, \( PI \parallel QK \) vì \( PI \) và \( QK \) đều là đường trung bình của các tam giác vuông \( \triangle HBP \) và \( \triangle HQK \).
- Vì \( PI \parallel QK \) và \( PI \) vuông góc với \( PQ \), nên \( KPQ = 90^\circ \).