Rút gọn C

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

**a) Rút gọn biểu thức A:**

Biểu thức ban đầu:
\[ A = \frac{\sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 - 4}}}{\sqrt{x^2 - 4} + x + 2} \]

Để rút gọn biểu thức này, ta cần tìm cách đơn giản hóa các phần tử trong biểu thức.

**b) Tính giá trị của C khi \( x = 2\sqrt{6} + 3 \):**

Thay giá trị \( x = 2\sqrt{6} + 3 \) vào biểu thức đã rút gọn ở phần a và tính toán.

**Bước 1: Rút gọn biểu thức A**

Xét biểu thức bên trong căn bậc hai ở tử số:
\[ 2x + 2\sqrt{x^2 - 4} \]

Ta có thể viết lại như sau:
\[ 2x + 2\sqrt{x^2 - 4} = 2(x + \sqrt{x^2 - 4}) \]

Do đó, biểu thức A trở thành:
\[ A = \frac{\sqrt{2(x + \sqrt{x^2 - 4})}}{\sqrt{x^2 - 4} + x + 2} \]

Ta có thể viết lại tử số:
\[ \sqrt{2(x + \sqrt{x^2 - 4})} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{x + \sqrt{x^2 - 4}} \]

Do đó, biểu thức A trở thành:
\[ A = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x + \sqrt{x^2 - 4}}}{\sqrt{x^2 - 4} + x + 2} \]

**Bước 2: Tính giá trị của C khi \( x = 2\sqrt{6} + 3 \)**

Thay \( x = 2\sqrt{6} + 3 \) vào biểu thức đã rút gọn:
\[ A = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2\sqrt{6} + 3 + \sqrt{(2\sqrt{6} + 3)^2 - 4}}}{\sqrt{(2\sqrt{6} + 3)^2 - 4} + 2\sqrt{6} + 3 + 2} \]

Tính toán các giá trị bên trong căn bậc hai:
\[ (2\sqrt{6} + 3)^2 - 4 = 4 \cdot 6 + 12\sqrt{6} + 9 - 4 = 24 + 12\sqrt{6} + 5 = 29 + 12\sqrt{6} \]

Do đó, biểu thức trở thành:
\[ A = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2\sqrt{6} + 3 + \sqrt{29 + 12\sqrt{6}}}}{\sqrt{29 + 12\sqrt{6}} + 2\sqrt{6} + 5} \]

Để tiếp tục tính toán, ta cần đơn giản hóa các giá trị bên trong căn bậc hai. Tuy nhiên, biểu thức này khá phức tạp và có thể cần thêm các bước tính toán chi tiết hơn để đạt được kết quả cuối cùng.