Để giải các phương trình bậc hai, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

### Bài 1:

a) \( 2x^2 + x - 15 = 0 \)

Áp dụng công thức nghiệm:

\[ a = 2, \, b = 1, \, c = -15 \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15)}}{2 \cdot 2} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{4} \]

\[ x = \frac{-1 \pm 11}{4} \]

\[ x_1 = \frac{-1 + 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]

\[ x_2 = \frac{-1 - 11}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 2.5 \) và \( x = -3 \).

b) \( 4x^2 - 4x + 1 = 0 \)

Áp dụng công thức nghiệm:

\[ a = 4, \, b = -4, \, c = 1 \]

\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} \]

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8} \]

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{8} \]

\[ x = \frac{4}{8} \]

\[ x = 0.5 \]

Phương trình có nghiệm kép \( x = 0.5 \).

c) \( x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = 0 \)

Áp dụng công thức nghiệm:

\[ a = 1, \, b = -\frac{1}{2}, \, c = \frac{3}{4} \]

\[ x = \frac{-(-\frac{1}{2}) \pm \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{3}{4}}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} - 3}}{2} \]

\[ x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{12}{4}}}{2} \]

\[ x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{-11}{4}}}{2} \]

\[ x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{-\frac{11}{4}}}{2} \]

\[ x = \frac{\frac{1}{2} \pm \frac{i\sqrt{11}}{2}}{2} \]

\[ x = \frac{1 \pm i\sqrt{11}}{4} \]

Phương trình có nghiệm phức \( x = \frac{1 + i\sqrt{11}}{4} \) và \( x = \frac{1 - i\sqrt{11}}{4} \).

### Bài 2:

Phương trình: \( x^2 - (2m-1)x + 3 - m = 0 \)

Tìm \( m \) để phương trình có nghiệm \( x = -1 \):

Thay \( x = -1 \) vào phương trình:

\[ (-1)^2 - (2m-1)(-1) + 3 - m = 0 \]

\[ 1 + 2m - 1 + 3 - m = 0 \]

\[ 2m - m + 3 = 0 \]

\[ m + 3 = 0 \]

\[ m = -3 \]

Thay \( m = -3 \) vào phương trình:

\[ x^2 - (2(-3)-1)x + 3 - (-3) = 0 \]

\[ x^2 - (-6-1)x + 3 + 3 = 0 \]

\[ x^2 + 7x + 6 = 0 \]

Giải phương trình:

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} \]

\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} \]

\[ x = \frac{-7 \pm 5}{2} \]

\[ x_1 = \frac{-7 + 5}{2} = -1 \]

\[ x_2 = \frac{-7 - 5}{2} = -6 \]

Vậy nghiệm còn lại là \( x = -6 \).

### Bài 3:

Phương trình: \( x^2 - 4x + m - 5 = 0 \)

Tìm \( m \) để phương trình có nghiệm kép:

Phương trình có nghiệm kép khi \( \Delta = 0 \):

\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 5) = 0 \]

\[ 16 - 4(m - 5) = 0 \]

\[ 16 - 4m + 20 = 0 \]

\[ 36 - 4m = 0 \]

\[ 4m = 36 \]

\[ m = 9 \]

Thay \( m = 9 \) vào phương trình:

\[ x^2 - 4x + 9 - 5 = 0 \]

\[ x^2 - 4x + 4 = 0 \]

Giải phương trình:

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} \]

\[ x = \frac{4 \pm 0}{2} \]

\[ x = 2 \]

Phương trình có nghiệm kép \( x = 2 \).

### Bài 4:

Phương trình: \( (m-3)x^2 + x + 5 = 0 \)

Tìm \( m \) để phương trình vô nghiệm:

Phương trình vô nghiệm khi \( \Delta < 0 \):

\[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(m-3) \cdot 5 < 0 \]

\[ 1 - 20(m-3) < 0 \]

\[ 1 - 20m + 60 < 0 \]

\[ 61 - 20m < 0 \]

\[ 20m > 61 \]

\[ m > \frac{61}{20} \]

\[ m > 3.05 \]

Vậy \( m > 3.05 \) thì phương trình vô nghiệm.