Cho tam giác vuông \( \triangle MNP \) với góc vuông tại \( M \). Đường cao \( MQ \) chia cạnh huyền \( NP \) thành hai đoạn \( NQ = 3 \) và \( PQ = 6 \).

Trước hết, ta tính độ dài cạnh huyền \( NP \):
\[ NP = NQ + PQ = 3 + 6 = 9 \]

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[ MQ^2 = NQ \cdot PQ \]
\[ MQ^2 = 3 \cdot 6 = 18 \]
\[ MQ = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

Bây giờ, ta tính các cạnh \( MN \) và \( MP \) của tam giác vuông \( \triangle MNP \) bằng cách sử dụng định lý Pythagore:
\[ MN^2 = NP \cdot NQ = 9 \cdot 3 = 27 \]
\[ MN = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

\[ MP^2 = NP \cdot PQ = 9 \cdot 6 = 54 \]
\[ MP = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \]

Tiếp theo, ta tính cotang của các góc \( N \) và \( P \):
\[ \cot N = \frac{MN}{MQ} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \]

\[ \cot P = \frac{MP}{MQ} = \frac{3\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = \sqrt{3} \]

So sánh \( \cot N \) và \( \cot P \):
\[ \cot P = \sqrt{3} \]
\[ \cot N = \sqrt{\frac{3}{2}} \]

Ta có:
\[ \sqrt{3} = \sqrt{\frac{3}{1}} \]

So sánh \( \sqrt{\frac{3}{1}} \) và \( \sqrt{\frac{3}{2}} \):
\[ \sqrt{\frac{3}{1}} > \sqrt{\frac{3}{2}} \]

Tỉ số giữa \( \cot P \) và \( \cot N \):
\[ \frac{\cot P}{\cot N} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} \]

Vậy, \( \cot P \) lớn hơn \( \cot N \) một tỉ số là \( \sqrt{2} \).