Cho sin2a = -4/5 và π/2 < a < 3π/2. Tính sina và cosπ

Để giải bài toán cho \( \sin 2a = -\frac{4}{5} \) với \( \frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính \( \sin a \) và \( \cos a \)

Biết rằng:
\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a
\]
Vì \( \sin 2a = -\frac{4}{5} \), ta có:
\[
2 \sin a \cos a = -\frac{4}{5}
\]
=>
\[
\sin a \cos a = -\frac{2}{5}
\]

### Bước 2: Sử dụng định lý Pythagore

Ta biết rằng:
\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]
Gọi \( \sin a = x \) và \( \cos a = y \), ta có:
\[
x^2 + y^2 = 1
\]
Và từ \( xy = -\frac{2}{5} \), ta có:
\[
y = -\frac{2}{5x}
\]

### Bước 3: Thay vào phương trình Pythagore

Thay \( y \) vào phương trình Pythagore:
\[
x^2 + \left(-\frac{2}{5x}\right)^2 = 1
\]
=>
\[
x^2 + \frac{4}{25x^2} = 1
\]
Nhân cả hai bên với \( 25x^2 \):
\[
25x^4 - 25x^2 + 4 = 0
\]
Gọi \( z = x^2 \), ta có phương trình bậc hai:
\[
25z^2 - 25z + 4 = 0
\]

### Bước 4: Giải phương trình bậc hai

Sử dụng công thức nghiệm:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 4}}{2 \cdot 25}
\]
\[
= \frac{25 \pm \sqrt{625 - 400}}{50} = \frac{25 \pm \sqrt{225}}{50} = \frac{25 \pm 15}{50}
\]
=>
\[
z_1 = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}, \quad z_2 = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}
\]

### Bước 5: Tính \( \sin a \) và \( \cos a \)

- Nếu \( z = \frac{4}{5} \):
- \( \sin^2 a = \frac{4}{5} \) => \( \sin a = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \) (vì \( a \) nằm trong khoảng \( \frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2} \))
- \( \cos^2 a = \frac{1}{5} \) => \( \cos a = -\frac{1}{\sqrt{5}} \)

- Nếu \( z = \frac{1}{5} \):
- \( \sin^2 a = \frac{1}{5} \) => \( \sin a = -\frac{1}{\sqrt{5}} \) (vì \( a \) nằm trong khoảng \( \frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2} \))
- \( \cos^2 a = \frac{4}{5} \) => \( \cos a = \frac{2}{\sqrt{5}} \) (không hợp lệ vì \( \cos a < 0 \))

### Kết quả

Vậy ta có:
\[
\sin a = -\frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos a = -\frac{1}{\sqrt{5}}
\]

### Bước 6: Tính \( \sin 2a \) và \( \cos 2a \)

- Tính \( \sin 2a \):
\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{4}{5}
\]

- Tính \( \cos 2a \):
\[
\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 - \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}
\]

### Kết quả cuối cùng

\[
\sin a = -\frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos a = -\frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin 2a = -\frac{4}{5}, \quad \cos 2a = -\frac{3}{5}
\]