Để tính \( \cos 2a \), \( \sin 2a \), và \( \tan 2a \) từ các giá trị đã cho, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác.

### Trường hợp 1: \( \cos a = -\frac{5}{13} \) và \( \pi < a < \frac{3\pi}{2} \)

1. **Tính \( \sin a \)**:
- Sử dụng định lý Pythagore:
\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
\]
\[
\sin^2 a + \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1
\]
\[
\sin^2 a + \frac{25}{169} = 1
\]
\[
\sin^2 a = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}
\]
\[
\sin a = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}
\]
(Chọn dấu âm vì \( a \) nằm trong khoảng \( \pi < a < \frac{3\pi}{2} \))

2. **Tính \( \cos 2a \), \( \sin 2a \), và \( \tan 2a \)**:
- Sử dụng công thức:
\[
\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a
\]
\[
\cos 2a = \left(-\frac{5}{13}\right)^2 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2
\]
\[
= \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = \frac{25 - 144}{169} = \frac{-119}{169}
\]

- Tính \( \sin 2a \):
\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a
\]
\[
= 2 \left(-\frac{12}{13}\right) \left(-\frac{5}{13}\right) = 2 \cdot \frac{60}{169} = \frac{120}{169}
\]

- Tính \( \tan 2a \):
\[
\tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \frac{\frac{120}{169}}{\frac{-119}{169}} = \frac{120}{-119} = -\frac{120}{119}
\]

### Kết quả cho trường hợp 1:
- \( \cos 2a = -\frac{119}{169} \)
- \( \sin 2a = \frac{120}{169} \)
- \( \tan 2a = -\frac{120}{119} \)

---

### Trường hợp 2: \( \tan a = 2 \)

1. **Tính \( \sin a \) và \( \cos a \)**:
- Giả sử \( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = 2 \), ta có thể chọn \( \sin a = 2k \) và \( \cos a = k \) cho một số \( k \).
- Từ đó, sử dụng định lý Pythagore:
\[
(2k)^2 + k^2 = 1
\]
\[
4k^2 + k^2 = 1 \Rightarrow 5k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{5}}
\]
- Vậy:
\[
\sin a = 2k = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos a = k = \frac{1}{\sqrt{5}}
\]

2. **Tính \( \cos 2a \), \( \sin 2a \), và \( \tan 2a \)**:
- Tính \( \cos 2a \):
\[
\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a
\]
\[
= \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}
\]

- Tính \( \sin 2a \):
\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}
\]

- Tính \( \tan 2a \):
\[
\tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}
\]

### Kết quả cho trường hợp 2:
- \( \cos 2a = -\frac{3}{5} \)
- \( \sin 2a = \frac{4}{5} \)
- \( \tan 2a = -\frac{4}{3} \)

---

Tóm lại, kết quả cho cả hai trường hợp là:
1. \( \cos 2a = -\frac{119}{169}, \sin 2a = \frac{120}{169}, \tan 2a = -\frac{120}{119} \)
2. \( \cos 2a = -\frac{3}{5}, \sin 2a = \frac{4}{5}, \tan 2a = -\frac{4}{3} \)