Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học và tính chất của các tiếp tuyến.

### a) Chứng minh OA vuông góc MN

Theo định lý về tiếp tuyến, ta biết rằng hai tiếp tuyến từ cùng một điểm A đến cùng một đường tròn sẽ có những tính chất sau:

- \( AM \) là tiếp tuyến tại M và \( AN \) là tiếp tuyến tại N.
- Do đó, \( OA \) vuông góc với \( AM \) và cũng vuông góc với \( AN \).
- Vì vậy, đường thẳng \( OA \) có thể được xem là một đường trung trực của đoạn thẳng \( MN \) (vì nó đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn MN).

Hơn nữa, từ tính chất này, ta có:

\[
OA \perp MN
\]

### b) Vẽ đường kính OC và chứng minh MC // AO

- Nếu vẽ đường kính \( OC \) (c là điểm trên đường tròn), ta thấy rằng trung điểm của đoạn \( MN \) (gọi là I) sẽ nằm trên đường thẳng \( OC \) do tính chất vuông góc giữa \( OA \) và \( MN \).

- Trong tam giác vuông \( OAM \), ta có \( OM \) là bán kính đường tròn. Bán kính trong một tam giác vuông vuông góc với đường tiếp tuyến tại điểm tiếp giáp nên có thể kết luận:

\[
MC \parallel AO
\]
(Tại điểm M, đường kính OC chia đoạn thẳng MB thành hai đoạn mà không làm thay đổi hướng, bởi vì OC sẽ nằm trong mặt phẳng của O và M.)

### c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN cho OM = 3 cm, OA = 5 cm

Để tính độ dài các cạnh của tam giác \( AMN \), ta áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \( OMA \):

\[
OA^2 = OM^2 + AM^2
\]

Thay số vào:

\[
5^2 = 3^2 + AM^2 \\
25 = 9 + AM^2 \\
AM^2 = 25 - 9 = 16 \\
AM = 4 \, \text{cm}
\]

Tương tự, từ tính chất của tam giác \( OAN \):

\[
OA^2 = ON^2 + AN^2
\]

Vì ON = OM (bán kính đường tròn) nên ta cũng có:

\[
ON^2 = 3^2 = 9
\]
\[
5^2 = 3^2 + AN^2 \\
25 = 9 + AN^2 \\
AN^2 = 25 - 9 = 16 \\
AN = 4 \, \text{cm}
\]

Do đó, ta có độ dài các cạnh của tam giác AMN là:

- \( AM = 4 \, \text{cm} \)
- \( AN = 4 \, \text{cm} \)
- \( MN \) có thể tính bằng định lý Pitago trong tam giác \( OMN \):

\[
MN = MN = \sqrt{AM^2 + AN^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \, \text{cm}
\]

### Kết luận

- Độ dài các cạnh AM, AN là 4 cm và MN là \( 4\sqrt{2} \, \text{cm} \).
- \( OA \perp MN \) và \( MC \parallel OA \).