Gọi số ngày mà thợ thứ hai làm một mình là \( x \). Vậy thợ thứ nhất sẽ làm trong \( x + 9 \) ngày.

Tính hiệu suất làm việc, ta có:

- Hiệu suất của thợ thứ nhất là \( \frac{1}{x + 9} \).
- Hiệu suất của thợ thứ hai là \( \frac{1}{x} \).

Khi làm chung, hiệu suất tổng cộng sẽ là:
\[
\frac{1}{x + 9} + \frac{1}{x}
\]
Theo đề bài, khi cả hai cùng làm thì hoàn thành trong 6 ngày, tức là:
\[
\frac{1}{x + 9} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}
\]

Giải phương trình này:

1. Nhân cả hai vế với \( 6x(x + 9) \) để loại mẫu:
\[
6x \cdot (x + 9) \left( \frac{1}{x + 9} + \frac{1}{x} \right) = 6x \cdot (x + 9) \cdot \frac{1}{6}
\]
Tương đương:
\[
6x + 54 = x(x + 9)
\]
2. Giải phương trình:
\[
x^2 + 9x - 6x - 54 = 0 \implies x^2 + 3x - 54 = 0
\]
3. Tính delta:
\[
\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225
\]

4. Tính nghiệm:
\[
x = \frac{-3 \pm 15}{2}
\]
Nghiệm dương:
\[
x = \frac{12}{2} = 6
\]
Vậy thợ thứ hai làm trong 6 ngày.

Thợ thứ nhất:
\[
x + 9 = 6 + 9 = 15 \text{ ngày}
\]

Kết luận:
- Thợ thứ nhất làm trong 15 ngày.
- Thợ thứ hai làm trong 6 ngày.