Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

Chúng ta cùng nhau đơn giản hóa từng biểu thức trong bài toán trên:

### a)
\[
A = -\frac{1}{\cos^2 x} - \tan^2(180^\circ - x) - \cos^2(180^\circ - x)
\]

Biết rằng:
- \(\tan(180^\circ - x) = -\tan x\), nên \(\tan^2(180^\circ - x) = \tan^2 x\)
- \(\cos(180^\circ - x) = -\cos x\), nên \(\cos^2(180^\circ - x) = \cos^2 x\)

Thay vào biểu thức:
\[
A = -\frac{1}{\cos^2 x} - \tan^2 x - \cos^2 x
\]
Do đó:
\[
A = -\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \cos^2 x = -\frac{1 + \sin^2 x + \cos^4 x}{\cos^2 x}
\]

### b)
\[
B = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cot^2 x - \tan^2 x - \cos^2 x}
\]

Biết rằng:
- \(\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\)
- \(\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\)

Thus:
\[
\cot^2 x - \tan^2 x = \frac{\cos^4 x - \sin^4 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}
\]

Thay vào biểu thức:
\[
B = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}(\cos^2 x - \sin^2 x)}
\]
Kết quả là:
\[
B = \sin^2 x \cos^2 x
\]

### c)
\[
C = \frac{\sin^3 a + \cos^3 a}{\cos^2 a + \sin a (\sin a - \cos a)}
\]

Phân tích tử:
\[
\sin^3 a + \cos^3 a = (\sin a + \cos a)(\sin^2 a - \sin a \cos a + \cos^2 a) = (\sin a + \cos a)(1 - \sin a \cos a)
\]

Phân tích mẫu:
\[
\cos^2 a + \sin a(\sin a - \cos a) = \cos^2 a + \sin^2 a - \sin a \cos a = 1 - \sin a \cos a
\]

Do đó:
\[
C = \frac{(\sin a + \cos a)(1 - \sin a \cos a)}{1 - \sin a \cos a} = \sin a + \cos a
\]

### d)
\[
D = \frac{1 + \sin a}{\sqrt{1 - \sin a}} + \frac{1 - \sin a}{\sqrt{1 + \sin a}}
\]

Công thức:
\[
D = \frac{(1 + \sin a) \sqrt{1 + \sin a} + (1 - \sin a) \sqrt{1 - \sin a}}{\sqrt{(1 - \sin a)(1 + \sin a)}}
\]
Biến đổi:
\[
D = \frac{\sqrt{1+\sin a}(1+\sin a) + \sqrt{1-\sin a}(1-\sin a)}{\sqrt{1 - \sin^2 a}}
\]
Với \(\sqrt{1 - \sin^2 a} = \cos a\), ta có:
\[
D = \frac{(1+\sin a)\sqrt{1+\sin a} + (1-\sin a)\sqrt{1-\sin a}}{\cos a}
\]

Mỗi biểu thức đã được đơn giản hóa như mong muốn.