Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích của một tam giác. Diện tích \( S \) của tam giác được tính theo công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h
\]

Trong đó:
- \( b \) là chiều dài cạnh đáy
- \( h \) là chiều cao tương ứng

Theo đề bài, ta có diện tích của thửa ruộng là:

\[
\frac{1}{2} \cdot b \cdot h = 180 \text{ cm}^2
\]

Suy ra:

\[
b \cdot h = 360
\]

Khi tăng chiều dài cạnh đáy lên 4m (400 cm) và giảm chiều cao tương ứng đi 1m (100 cm), diện tích vẫn không đổi, tức là:

\[
\frac{1}{2} \cdot (b + 400) \cdot (h - 100) = 180 \text{ cm}^2
\]

Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng:

\[
(b + 400) \cdot (h - 100) = 360
\]

Bây giờ ta có hai phương trình:

1. \( b \cdot h = 360 \) (1)
2. \( (b + 400) \cdot (h - 100) = 360 \) (2)

Giải phương trình (2):

\[
(b + 400)(h - 100) = 360
\]

Mở ngoặc ra:

\[
b \cdot h - 100b + 400h - 40000 = 360
\]

Thay \( b \cdot h = 360 \) (từ phương trình (1)) vào:

\[
360 - 100b + 400h - 40000 = 360
\]

Rút gọn:

\[
-100b + 400h - 40000 = 0
\]

Từ đó ta có:

\[
400h - 100b = 40000
\]

Chia cả hai vế cho 100:

\[
4h - b = 400
\]

Suy ra:

\[
b = 4h - 400 \quad (3)
\]

Thay phương trình (3) vào phương trình (1):

\[
(4h - 400)h = 360
\]

Giải phương trình:

\[
4h^2 - 400h - 360 = 0
\]

Chia cả hai vế cho 4:

\[
h^2 - 100h - 90 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1, b = -100, c = -90 \):

\[
h = \frac{100 \pm \sqrt{10000 + 360}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{10360}}{2}
\]

Tính \(\sqrt{10360} \approx 101.8\):

\[
h \approx \frac{100 + 101.8}{2} \approx 100.9 \quad \text{(Lấy nghiệm dương)}
\]

Nhưng \( h \) phải là một số nguyên, và ta đã ước lượng gần đúng. Ta tính lại chính xác:

Sử dụng máy tính hoặc tính chính xác \( \sqrt{10360} \approx 101.78 \):

\[
h \approx \frac{100 + 101.78}{2} \approx 100.89
\]

Giờ tìm \( b \):

Thay \( h \) vào phương trình (1):

\[
b \cdot 100.9 = 360 \Rightarrow b \approx \frac{360}{100.9} \approx 3.56
\]

Do đó chiều dài cạnh đáy \( b \) khoảng \( 3.56 \) cm.

Kiểm tra các kết quả giá trị này để đảm bảo không có sai số, sử dụng số chính xác hơn sẽ cho phép xác minh diện tích và việc thay đổi cao cũng như cạnh đáy.

Cuối cùng ước tính chiều dài cạnh đáy:

\[
b \approx 3.56 \text{ cm}
\]

Đổi từ cm sang m:

Chuyển sang đổi kết quả cuối cùng cho thuận tiện:

\[
b \approx 0.036m
\]

Do đó, chiều dài cạnh đáy thửa ruộng hình tam giác là khoảng **3.56 cm** khi làm tròn.