Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu:

### i) Chứng minh \( \triangle ABH \sim \triangle NHC \)

1. **Nhận xét tam giác vuông**:
- \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), nên \( \angle CAB = 90^\circ \).
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), do đó \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \).

2. **Sử dụng góc**:
- \( \angle ABH = \angle NHC \) (góc đối đỉnh).
- Từ đó, ta có \( \triangle ABH \sim \triangle NHC \) theo tiêu chí góc-góc (AA).

### ii) Xét điểm M là trung điểm của AC

1. **Gọi H kéo dài đường thẳng song song với AC**:
- Ta có \( H \) kéo dài ra một điểm \( D \) trên đường thẳng \( AC \) sao cho \( HD \) song song với \( AC \).

2. **Chứng minh chi tiết**:

#### a) Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( DH \)

- Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( H \), \( D \) nằm trên đường thẳng song song với \( AC \).

- Sử dụng định lý trung tuyến trong tam giác vuông, ta có \( DH \) sẽ được chia đều tại \( I \).

#### b) Gọi \( K \) là giao điểm của \( AH \) và \( CD \). Chứng minh \( DK = KC \)

1. Từ tính chất đa giác, vì \( CD \parallel AH \) mà \( K \) là giao điểm của \( AH \) với \( CD \), ta có:
- Hai đoạn thẳng \( DK \) và \( KC \) cũng sẽ chia đều.

#### c) Chứng minh ba điểm \( B, K, M \) thẳng hàng

- Từ yêu cầu ở trên, ta đã biết được các yếu tố tỉ lệ của các đoạn thẳng nên có thể suy ra rằng:
- Nếu \( K \) thuộc đường thẳng \( BC \) và \( M \) là trung điểm của \( AC \), thì \( B, K, M \) thẳng hàng theo tính chất trung điểm trong tam giác.

Hy vọng các bước giải trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!