Tồn tại hay không các số hữu tỉ dương a, b sao cho

Để tìm xem có tồn tại hay không các số hữu tỉ dương \( a, b \) sao cho

\[
\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{2024},
\]

ta bắt đầu phân tích biểu thức này.

1. Tính giá trị của \( \sqrt{2024} \):

\[
\sqrt{2024} = \sqrt{4 \times 506} = \sqrt{4} \times \sqrt{506} = 2\sqrt{506}.
\]

2. Đặt \( x = \sqrt{a} \) và \( y = \sqrt{b} \), ta có:

\[
x + y = 2\sqrt{506}.
\]

3. Từ đây, ta suy ra \( a = x^2 \) và \( b = y^2 \).

4. Thay vào phương trình, ta cần tìm các số dương \( x \) và \( y \) sao cho:

\[
x + y = 2\sqrt{506}.
\]

5. Để thỏa mãn điều kiện là \( a \) và \( b \) dương, ta có \( x > 0 \) và \( y > 0 \). Nếu ta chọn \( y = 2\sqrt{506} - x \) với \( x \in (0, 2\sqrt{506}) \), thì \( y \) cũng sẽ luôn dương và lớn hơn 0.

6. Ta có thể chọn \( x = k \) (với \( k \) là số dương) và \( y = 2\sqrt{506} - k \) với \( k \in (0, 2\sqrt{506}) \).

7. Sau đó, \( a \) và \( b \) sẽ được tính như sau:

\[
a = k^2,
\]
\[
b = (2\sqrt{506} - k)^2.
\]

Như vậy, tồn tại vô số cặp \( (a, b) \) thỏa mãn điều kiện trên, ví dụ với \( k = \sqrt{506} \), sẽ dẫn đến \( a = 506 \) và \( b = 506 \).

Từ những phân tích trên, ta kết luận rằng:

**Có** tồn tại các số hữu tỉ dương \( a, b \) sao cho \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{2024} \).