Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu.

### 1. Rút gọn biểu thức P
Biểu thức \( P \) như sau:

\[
P = \left[ \frac{2}{3\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}+1} \left( \frac{\sqrt{x}+1}{3\sqrt{x}} - \sqrt{x}-1 \right) \right] \cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}
\]

Để rút gọn biểu thức này, ta cần thực hiện các phép biến đổi đại số:

- Tính từng phần của biểu thức, bắt đầu từ các phân số.
- Tìm chung mẫu cho các phân số và rút gọn.

### 2. Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
Sau khi biểu thức đã được rút gọn, ta cần tìm các giá trị nguyên của \( x \).

- Đầu tiên, đảm bảo rằng \( x \) được xác định. Ta lưu ý rằng các căn bậc hai xuất hiện trong biểu thức chỉ có nghĩa khi \( x \geq 0 \).
- Tiếp theo, giải phương trình hoặc điều kiện cho \( P \) để có được giá trị nguyên.

### 3. Cho \( M = \sqrt{x} \cdot P \). Tìm giá trị nhỏ nhất của M, biết \( x \geq 4 \)
- Biểu thức \( M \) sẽ có dạng:

\[
M = \sqrt{x} \cdot P
\]

- Sau khi tìm được \( P \), thay thế vào phương trình và xác định giá trị nhỏ nhất của \( M \).

Sau khi rút gọn, bạn cần kiểm tra từng giá trị nguyên \( x \) bắt đầu từ 4 trở đi và tính \( P \). Từ đó, kiểm tra tính nguyên của \( P \).

Lưu ý: Cụ thể quá trình rút gọn, giải và kiểm tra từng bước sẽ cần nhiều phép toán, và có thể sẽ hợp lý hơn khi thực hiện từng phần bằng giấy hoặc công cụ tính toán.