Để chứng minh các phần của bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác COD đồng dạng tam giác AMB

1. **Xác định các góc:**
- Gọi \( O \) là tâm của nửa đường tròn và \( AB \) là đường kính của nó.
- Vì \( A \) và \( B \) nằm trên đường tròn, nên \( \angle AMB = 90^\circ \) (góc nội tiếp tạo bởi đường kính).
- Tương tự, vì \( C \) và \( D \) là các điểm tiếp xúc, \( \angle COD = 90^\circ \).

2. **Áp dụng đồng dạng:**
- Tam giác \( COD \) và tam giác \( AMB \) đều có góc vuông, và ta có:
\[
\frac{CO}{OA} = \frac{OD}{MB}
\]
- Do đó, ta có thể kết luận:
\[
\triangle COD \sim \triangle AMB
\]

### b) Chứng minh MC.MD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn

1. **Tính toán độ dài MC và MD:**
- Theo định lí đồng dạng đã chứng minh, ta có:
\[
\frac{MC}{AM} = \frac{OC}{OA} \quad \text{và} \quad \frac{MD}{MB} = \frac{OD}{OB}
\]
- Tổng quát, đặt \( k = OC \) và \( k' = OD \).

2. **Biểu thức tích:**
- Từ hai tam giác đồng dạng, điều này dẫn đến:
\[
MC \cdot MD = OA \cdot OB
\]
- Bởi vì \( OA = OB = R \) (bán kính của nửa đường tròn), nên tích này là không đổi:
\[
MC \cdot MD = R^2
\]
- Do đó, khi \( M \) di chuyển trên nửa đường tròn, tích \( MC \cdot MD \) luôn không đổi.

### c) Tính AC và BD theo R, với OC = BA = 2R

1. **Tính AC:**
- Xét tam giác \( AOC \):
- Theo định lý Pytago, ta có:
\[
AC = OC - OA = OC - R
\]
- Với \( OC = 2R \), ta có:
\[
AC = 2R - R = R
\]

2. **Tính BD:**
- Tương tự như trên, xét tam giác \( BOD \):
- Áp dụng định lý Pytago:
\[
BD = OD - OB = OD - R
\]
- Với \( OD = 2R \), ta có:
\[
BD = 2R - R = R
\]

Kết luận:
- \( AC = R \) và \( BD = R \).