Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích và tính giá trị biểu thức \( A \).

### Biểu thức A:
\[ A = \frac{\frac{x + 6}{x^2 - 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{x}{1 - x}}{\frac{x + 2}{3x - 3}} \]

Trước tiên, ta cần đơn giản hóa biểu thức.

1. **Đơn giản hóa các phần tử trong tử số**.

- \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)
- \( \frac{x + 6}{x^2 - 1} = \frac{x + 6}{(x - 1)(x + 1)} \)
- \( - \frac{x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1} \)

Ta có thể viết lại biểu thức \( A \):
\[
A = \frac{\frac{x + 6}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{2}{x + 1} + \frac{x}{x - 1}}{\frac{x + 2}{3(x - 1)}}
\]

Bây giờ chúng ta tính tử số:
- Quy đồng các phần tử:
\[
A = \frac{\frac{(x + 6) + 2(x - 1) + x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}}{\frac{x + 2}{3(x - 1)}}
\]

Đặt tử số thành một phân thức chung:
- Simplify:
\[
(x + 6) + 2(x - 1) + x(x + 1) = x^2 + 3x + 4
\]

Sau đó, đưa về dạng:
\[
A = \frac{3(x^2 + 3x + 4)}{(x + 2)(x + 1)}
\]

### a) Tìm giá trị của x sao cho \( A = -1 \):
\[
\frac{3(x^2 + 3x + 4)}{(x + 2)(x + 1)} = -1
\]
Giải phương trình:
\[
3(x^2 + 3x + 4) = -(x + 2)(x + 1)
\]

Rút gọn và đưa về dạng bậc 2:
\[
3x^2 + 9x + 12 = -x^2 - 3x - 2
\]
\[
4x^2 + 12x + 14 = 0 \quad \text{(phương trình bậc 2)}
\]
Giải phương trình:
\[
x^2 + 3x + \frac{7}{2} = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{7}{2} < 0
\]
=> Không có nghiệm.

### b) Tìm giá trị của x sao cho \( A = 1 \):
Tương tự:
\[
\frac{3(x^2 + 3x + 4)}{(x + 2)(x + 1)} = 1
\]
Giải:
\[
3(x^2 + 3x + 4) = (x + 2)(x + 1)
\]
\[
3x^2 + 9x + 12 = x^2 + 3x + 2
\]
\[
2x^2 + 6x + 10 = 0
\]
Giải phương trình:
\(\Delta < 0\) => Không có nghiệm.

### c) Tìm giá trị của x sao cho \( A = \frac{2}{3} \):
\[
\frac{3(x^2 + 3x + 4)}{(x + 2)(x + 1)} = \frac{2}{3}
\]
Giải:
\[
9(x^2 + 3x + 4) = 2(x + 2)(x + 1)
\]
\[
9x^2 + 27x + 36 = 2x^2 + 6x + 4
\]
\[
7x^2 + 21x + 32 = 0 \quad \Delta < 0 \text{ (không có nghiệm)}
\]

### d) Chứng minh A không thể bằng 3:
Tương tự:
\[
\frac{3(x^2 + 3x + 4)}{(x + 2)(x + 1)} = 3
\]
Giải:
\[
3(x^2 + 3x + 4) = 3(x + 2)(x + 1)
\]
Hệ số tương tự => không thể xảy ra.

### Kết luận:
- Không có giá trị nào của x để A = -1, 1, 2/3 và 3.