Để rút gọn phân thức \( M = \frac{3 - 2x}{2x + 1} : \left( \frac{1}{2x - 1} - \frac{2}{2x + 1} \right) \), chúng ta thực hiện từng bước như sau:

### a) Rút gọn M

Trước hết, ta phải rút gọn phần mẫu số \( \frac{1}{2x - 1} - \frac{2}{2x + 1} \).

Tìm mẫu chung cho \( \frac{1}{2x - 1} \) và \( \frac{2}{2x + 1} \):
\[
\text{Mẫu chung} = (2x - 1)(2x + 1)
\]
Áp dụng để tính:
\[
\frac{1}{2x - 1} - \frac{2}{2x + 1} = \frac{(2x + 1) - 2(2x - 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{2x + 1 - 4x + 2}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{-2x + 3}{(2x - 1)(2x + 1)}
\]
Giờ ta thay vào công thức cho \( M \):
\[
M = \frac{3 - 2x}{2x + 1} : \left( \frac{-2x + 3}{(2x - 1)(2x + 1)} \right) = \frac{3 - 2x}{2x + 1} \cdot \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{-2x + 3}
\]

Ta cũng có thể viết lại \( 3 - 2x = -(2x - 3) \).
Khi đó:
\[
M = \frac{-(2x - 3)(2x - 1)}{(2x + 1)(2x - 1)(-2x + 3)} = \frac{-(2x - 3)}{(2x + 1)} \text{ (vì } 2x - 1 \text{ và } 2x - 1 \text{ tương tự nhau)}
\]
Và sau khi rút gọn, chúng ta được:
\[
M = \frac{2x - 3}{2x + 1}
\]

### b) Tìm giá trị của x để phân thức M có giá trị bằng 0

Để \( M = 0 \), tử số phải bằng 0:
\[
2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}
\]

### c) Tìm giá trị của x để phân thức M có giá trị bằng 1/2

Để \( M = \frac{1}{2} \):
\[
\frac{2x - 3}{2x + 1} = \frac{1}{2}
\]
Giải phương trình này:
\[
2(2x - 3) = 1(2x + 1) \implies 4x - 6 = 2x + 1
\]
\[
4x - 2x = 7 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}
\]

### d) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x nguyên thì M nguyên

Để chứng minh \( M \) nguyên với mọi giá trị nguyên của \( x \), ta xem xét biểu thức:
\[
M = \frac{2x - 3}{2x + 1}
\]
Đặt \( x \) là số nguyên thỏa mãn \( 2x = n \), trong đó \( n \) cũng là nguyên.

Ta có:
- Tử số: \( 2x - 3 = n - 3 \) (nguyên)
- Mẫu số: \( 2x + 1 = n + 1 \) (nguyên)

Chia \( n - 3 \) cho \( n + 1 \):
\[
\frac{n - 3}{n + 1}
\]
Khi \( n \) nguyên, thì \( \frac{n - 3}{n + 1} \) sẽ nguyên, khi \( n + 1 \) khác 0 (tức là \( x \neq -\frac{1}{2} \)). Với các giá trị nguyên, \( n + 1 \) luôn khác 0.

Kết luận: \( M \) nguyên với mọi số nguyên \( x \).