Cho tứ diện ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm P sao cho BP = 2 DP. Gọi E là giao điểm của AD với mặt phẳng MNP. Tính FA / FD

Để tính tỷ lệ \( \frac{FA}{FD} \) trong tứ diện ABCD với các điều kiện cho trước, ta thực hiện như sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm:**

Giả sử:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C(0, 1, 0) \)
- \( D(0, 0, 1) \)

Từ đây, ta xác định được tọa độ các điểm:
- \( M \) là giữa \( A \) và \( C \):
\[
M = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2}, 0 \right) = \left( 0, \frac{1}{2}, 0 \right)
\]
- \( N \) là giữa \( B \) và \( C \):
\[
N = \left( \frac{1 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2}, 0 \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right)
\]

2. **Tìm tọa độ điểm P trên cạnh BD:**

Gọi \( D=(0, 0, 1) \) và \( B=(1, 0, 0) \). Ta có phương trình đường thẳng BD:
\[
(x,y,z) = (1-t, 0, t) \quad \text{với } t \in [0,1]
\]
Để tìm tỷ lệ giữa BP và DP, từ điều kiện \( BP = 2DP \), ta đặt:
\[
DP = t \quad \Rightarrow \quad BP = 2t \implies t + 2t = 1 \implies 3t = 1 \implies t = \frac{1}{3}
\]
Do đó:
\[
P = \left(1 - \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{2}{3}, 0, \frac{1}{3} \right)
\]

3. **Xác định mặt phẳng MNP:**

Mặt phẳng MNP có các điểm \( M, N, P \):
- \( M \) có tọa độ \( \left( 0, \frac{1}{2}, 0 \right) \),
- \( N \) có tọa độ \( \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right) \),
- \( P \) có tọa độ \( \left( \frac{2}{3}, 0, \frac{1}{3} \right) \).

Sử dụng phương trình mặt phẳng với 3 điểm, ta có thể tìm được phương trình mặt phẳng bằng cách tìm vector pháp tuyến và một điểm.

Vector:
- \( \overrightarrow{MN} = N - M = \left( \frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 0 - 0 \right) = \left( \frac{1}{2}, 0, 0 \right) \)
- \( \overrightarrow{MP} = P - M = \left( \frac{2}{3} - 0, 0 - \frac{1}{2}, \frac{1}{3} - 0 \right) = \left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \right) \)

Ta tính sản phẩm chéo của hai vector này để có vector pháp tuyến.

Sau khi tính toán vector pháp tuyến, sử dụng mặt phẳng với điểm \( A(0,0,0) \) để thiết lập phương trình mặt phẳng.

4. **Xác định điểm E:**

Giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng MNP. Đường thẳng AD có phương trình:
\[
(x,y,z) = (0,0,t) \quad \text{với } t \in [0,1]
\]
Thay biểu thức vào phương trình mặt phẳng đã tìm được để giải ra tọa độ điểm E trên AD.

5. **Tính toán tỷ lệ:**

Từ tọa độ điểm E xác định được, có thể tính khoảng cách \( FA \) và \( FD \) để được tỷ lệ:
\[
\frac{FA}{FD} = \frac{EA}{ED} = ?
\]

Bạn có thể thực hiện nghiệp vụ này để tìm ra tỷ lệ chi tiết hơn.