Để chứng minh rằng nếu \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\) thì điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), ta thực hiện như sau:

Gọi \(A\), \(B\), \(C\) lần lượt là các điểm trong mặt phẳng, và \(G\) là một điểm nào đó. Định nghĩa trọng tâm \(G\) của tam giác là điểm mà tổng các vectơ từ \(G\) đến các đỉnh của tam giác là bằng 0.

1. Theo định nghĩa trên, \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi có thể viết:

\[
\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}
\]

2. Áp dụng định nghĩa vectơ:

\[
\vec{GA} = \vec{A} - \vec{G}
\]
\[
\vec{GB} = \vec{B} - \vec{G}
\]
\[
\vec{GC} = \vec{C} - \vec{G}
\]

3. Thay các biểu thức ở trên vào phương trình:

\[
(\vec{A} - \vec{G}) + (\vec{B} - \vec{G}) + (\vec{C} - \vec{G}) = \vec{0}
\]

4. Rút gọn phương trình:

\[
\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} - 3\vec{G} = \vec{0}
\]

5. Do đó ta có:

\[
\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 3\vec{G}
\]

6. Chia hai vế cho 3, ta có:

\[
\vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})
\]

Điều này chứng tỏ rằng điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) vì nó được định nghĩa là trung điểm của trung điểm các đỉnh của tam giác. Vậy ta đã hoàn thành chứng minh.