Để giải bài toán đã cho, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu:

### 1) Tính giá trị của biểu thức \( M \) khi \( x = 2 \):

Biểu thức \( M \):
\[
M = \frac{x - 4}{x + 2}
\]

Thay \( x = 2 \) vào biểu thức \( M \):
\[
M = \frac{2 - 4}{2 + 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\]

### 2) Rút gọn biểu thức \( N \):

Biểu thức \( N \):
\[
N = \frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4}
\]

Tìm mẫu số chung là \( (x + 4)(x - 4) \):
\[
N = \frac{1(x - 4) + x(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)}
\]
\[
= \frac{x - 4 + x^2 + 4x}{(x + 4)(x - 4)} = \frac{x^2 + 5x - 4}{(x + 4)(x - 4)}
\]

### 3) Cho \( Q = M \cdot N \). Tìm các giá trị của \( x \) để biểu thức \( Q = \frac{x + 2}{5} \).

Sử dụng giá trị của \( M \):
\[
Q = -\frac{1}{2} \cdot N = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2 + 5x - 4}{(x + 4)(x - 4)}
\]

Giải phương trình:
\[
-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2 + 5x - 4}{(x + 4)(x - 4)} = \frac{x + 2}{5}
\]

Nhân hai vế với \( -10 (x + 4)(x - 4) \):
\[
x^2 + 5x - 4 = -2(x + 2)(x + 4)(x - 4)
\]

Giải phương trình này sẽ giúp bạn tìm ra giá trị của \( x \).

Quá trình giải có thể yêu cầu mở rộng thêm và thu gọn phía bên tay phải.

Hy vọng các bước này sẽ giúp bạn giải quyết bài toán thành công!