Để giải phương trình sau:

\[
\frac{x^2 + 1}{x + 1} + \frac{x^2 + 2}{x - 2} = -2
\]

**Bước 1: Tìm mẫu số chung.**

Mẫu số chung của hai phân thức là \((x + 1)(x - 2)\).

**Bước 2: Chuyển phương trình về cùng một mẫu số.**

\[
\frac{(x^2 + 1)(x - 2) + (x^2 + 2)(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = -2
\]

**Bước 3: Nhân chéo để loại bỏ mẫu số.**

Nhân cả hai vế với \( (x + 1)(x - 2) \):

\[
(x^2 + 1)(x - 2) + (x^2 + 2)(x + 1) = -2(x + 1)(x - 2)
\]

**Bước 4: Mở rộng các biểu thức.**

Mở rộng bên trái:

\[
(x^2 + 1)(x - 2) = x^3 - 2x^2 + x - 2
\]
\[
(x^2 + 2)(x + 1) = x^3 + x^2 + 2x + 2
\]

Tổng lại bên trái:

\[
x^3 - 2x^2 + x - 2 + x^3 + x^2 + 2x + 2 = 2x^3 - x^2 + 3x
\]

Mở rộng bên phải:

\[
-2(x + 1)(x - 2) = -2(x^2 - x - 2) = -2x^2 + 2x + 4
\]

**Bước 5: Thiết lập phương trình.**

\[
2x^3 - x^2 + 3x = -2x^2 + 2x + 4
\]

**Bước 6: Chuyển hết về 1 phía.**

\[
2x^3 + x^2 + 3x - 2x - 4 = 0
\]
\[
2x^3 + x^2 + x - 4 = 0
\]

**Bước 7: Tìm nghiệm.**

Sử dụng phương pháp thế nghiệm (hoặc bất kỳ phương pháp nào bạn chọn):

Sau khi thử nghiệm các giá trị, tìm nghiệm \(x = 1\) là một nghiệm.

**Bước 8: Phân tích thành nhân tử.**

Chia đa thức \(2x^3 + x^2 + x - 4\) cho \(x - 1\):

Kết quả được:

\[
2x^2 + 3x + 4 = 0
\]

**Bước 9: Giải phương trình bậc hai.**

Tính discriminant:

\[
D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23
\]

Vì \(D < 0\), không có nghiệm thực nào từ phương trình bậc hai này.

**Kết luận:**

Phương trình có một nghiệm thực là \(x = 1\) và không có nghiệm thực nào khác.