Cho hình bình hành ABCD, gọi E là trung điểm AB. Lấy F sao cho D là trung điểm của AF

Để giải bài toán về hình bình hành ABCD và các điểm E, F, bạn có thể làm theo các bước sau:

### Bài 31:
**a)** Chứng minh tứ giác DBEC là hình bình hành.

1. **Xác định các điểm**: E là trung điểm của AB nên \( AE = EB \). D là trung điểm của AF, do đó \( AD = DF \).
2. **Chứng minh các cặp cạnh đối diện bằng nhau**:
- \( DB \parallel EC \) và \( DB = EC \) (do chúng là các đoạn nối giữa trung điểm).
- Tương tự, \( DE \parallel BC \) và \( DE = BC \).
3. **Kết luận**: Tứ giác DBEC có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, nên nó là hình bình hành.

**b)** Chứng minh rằng A là trung điểm của EF.

1. **Xác định trung điểm**: Vì E là trung điểm của AB và D là trung điểm của AF, bạn cần chứng minh rằng A chia EF thành hai đoạn bằng nhau.
2. **Sử dụng định nghĩa trung điểm**: Từ vị trí của các điểm, ta thấy rằng A nằm giữa E và F (vì E là trung điểm của AB và D là trung điểm của AF). Do đó, \( AE = AF \).

### Bài 32:
1. **Chọn tam giác ABC, M là trung điểm của đoạn BC**.

2. **Sử dụng thuyết hình chiếu**:
- Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên AM.
- Điều này có nghĩa là AH vuông góc với BM và AM, BH và CM hình thành nên các đoạn tương đương.

**a)** Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.

1. **Sử dụng định nghĩa**: Bạn cần chứng minh các cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.
2. Từ vị trí của các điểm và dựa vào đặc tính của hình chiếu, có thể chứng minh rằng \( BH = CK \) và \( BC \parallel HK \).

**b)** Chứng minh rằng CH song song với BK.
1. Dựa vào các đường thẳng vuông góc từ tam giác và hình chiếu, bạn có thể thấy rằng các đường CH và BK đều cùng hướng nên chúng là song song.

Cuối cùng, sử dụng các định nghĩa và tính chất của hình bình hành để có thể hoàn thành các câu hỏi này một cách chắc chắn.