Để tìm số giá trị nguyên của \( m \) để phương trình:

\[
\sin 2x = 7m + 3
\]

có nghiệm với \( x \in \left[0; \frac{7\pi}{12}\right] \), ta cần xem xét điều kiện của hàm sin.

1. **Điều kiện về giá trị của sin**:
\[
-1 \leq \sin 2x \leq 1
\]
Do đó, ta có:
\[
-1 \leq 7m + 3 \leq 1
\]

2. **Giải bất phương trình**:
- Từ \( -1 \leq 7m + 3 \):
\[
7m + 3 \geq -1 \implies 7m \geq -4 \implies m \geq -\frac{4}{7}
\]
- Từ \( 7m + 3 \leq 1 \):
\[
7m + 3 \leq 1 \implies 7m \leq -2 \implies m \leq -\frac{2}{7}
\]

3. **Tổng hợp điều kiện**:
Từ hai bất phương trình trên, ta có:
\[
-\frac{4}{7} \leq m \leq -\frac{2}{7}
\]

4. **Tìm các giá trị nguyên**:
Các giá trị nguyên trong khoảng \([-0.571, -0.285]\) chỉ có \( m = -1 \).

Vậy chỉ có **1 giá trị nguyên** của \( m \) thỏa mãn phương trình.