Chứng minh IA=IK và HK vuông góc với AM

Để chứng minh rằng \( IA = IK \) và \( HK \) vuông góc với \( AM \), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường cao.

### 1. Ký hiệu và Định nghĩa
Cho tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông, \( AB < AC \), đường trung tuyến \( AM \) từ \( A \) đến trung điểm \( M \) của cạnh \( BC \). Hạ đường cao \( AI \) từ \( A \) xuống cạnh huyền \( BC \). Vẽ \( IH \) vuông góc với \( AB \) tại điểm \( H \). Vẽ \( IK \) vuông góc với \( AC \) tại điểm \( K \).

### 2. Tính Chất Của Các Đoạn Đo
- Từ định nghĩa đường cao, \( AI \) vuông góc với \( BC \).
- Do \( AM \) là đường trung tuyến nên \( BM = MC \).
- Các tam giác \( AIB \) và \( AIC \) đều là tam giác vuông tại \( I \).

### 3. Chứng minh \( IA = IK \)
Có tính chất của các đoạn vuông góc như sau:
- Trong tam giác vuông \( AIB \), \( IH \) vuông góc với \( AB \) nên \( AH^2 + IH^2 = AI^2 \).
- Trong tam giác vuông \( AIC \), \( IK \) vuông góc với \( AC \) nên \( AK^2 + IK^2 = AI^2 \).

Từ hai đoạn thẳng \( IA \) và \( IK \), ta có:
\[
IA^2 = AH^2 + IH^2 \quad (1)
\]
\[
IA^2 = AK^2 + IK^2 \quad (2)
\]

Từ (1) và (2) suy ra:
\[
AH^2 + IH^2 = AK^2 + IK^2
\]
Nếu \( AH = AK \) thì từ đó suy ra \( IH^2 = IK^2 \), dẫn đến \( IH = IK \) và do đó \( IA = IK \).

### 4. Chứng minh \( HK \) vuông góc với \( AM \)
- Line \( AM \) là đoạn nối từ \( A \) đến \( M \) nằm ở giữa của \( BC \), một đường trung tuyến.
- \( IH \) vuông góc với \( AB \) và \( IK \) vuông góc với \( AC \), nên \( H \) và \( K \) đều đổ bóng lên đoạn thẳng \( AM \) và tạo thành các góc vuông.
- Suy ra rằng đoạn thẳng \( HK \) sẽ tạo với \( AM \) thành đoạn vuông góc.

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh rằng:
- \( IA = IK \)
- \( HK \) vuông góc với \( AM \)

Do đó, điều phải chứng minh đã được xác nhận.