Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích phương trình \( S(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \sin \left( t + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{6} \sin \left( t - \frac{\pi}{3} \right) \).

### Bước 1: Tính biểu thức \( S(t) \)

Sử dụng công thức cộng đạo hàm cho sin, ta có:

\[
S(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \left( \sin(t + \frac{\pi}{3}) + \sin(t - \frac{\pi}{3}) \right)
\]

Áp dụng công thức tổng:

\[
\sin(a) + \sin(b) = 2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)
\]

Với \( a = t + \frac{\pi}{3} \) và \( b = t - \frac{\pi}{3} \):

\[
S(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \left( 2 \sin\left(t\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)
\]

Vì \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \):

\[
S(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot \sin(t) \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
= \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \sin(t)
\]

### Bước 2: Tính cực đại của \( S(t) \)

Để tìm giá trị lớn nhất trong ngày, ta cần tìm cực trị của hàm \( S(t) \). Ta tính đạo hàm:

\[
S'(t) = \frac{1}{6} \cos(t)
\]

Đặt \( S'(t) = 0 \):

\[
\cos(t) = 0 \Rightarrow t = \frac{\pi}{2} + k\pi; \, k \in \mathbb{Z}
\]

Giới hạn của \( t \) là từ 0 đến 24, ta xét các giá trị:

- \( t = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \) (k = 0)
- \( t = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85 \) (k = 1)
- \( t = \frac{9\pi}{2} \approx 14.14 \) (k = 2)
- \( t = \frac{13\pi}{2} \approx 20.42 \) (k = 3)

### Bước 3: Tính giá trị \( S(t) \)

Ta tính \( S(t) \) tại các giá trị cực trị.

1. \( S\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
2. \( S\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot 0 = \frac{1}{2} \)
3. \( S\left(\frac{9\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot (-1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
4. \( S\left(\frac{13\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot 0 = \frac{1}{2} \)

### Bước 4: So sánh và tìm giá trị lớn nhất

Giá trị lớn nhất của \( S(t) \) trong các giá trị trên là \( \frac{2}{3} \) tại \( t \approx 1.57 \).

### Bước 5: Tính tốc độ phát triền lớn nhất

Tốc độ phát triền lớn nhất là:

\[
S(t)_{\max} = \frac{2}{3}
\]

Tìm \( a \) và \( b \) trong \( \frac{a}{b} = \frac{2}{3} \), với \( a = 2 \), \( b = 3 \).

### Kết luận

Tính \( T = a + 3b = 2 + 3 \cdot 3 = 2 + 9 = 11 \).

Vậy đáp án đúng là: **B. \( T = 11 \)**.