Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[
P = \frac{8a^2 - 6ab + b^2}{4a^2 - 2ab + ac}
\]

trong trường hợp phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) có hai nghiệm thuộc đoạn \([0; 2]\), ta cần áp dụng các điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai.

### Các điều kiện:

1. **Delta lớn hơn hoặc bằng 0**: Tức là \( \Delta = b^2 - 4ac \geq 0 \).
2. **Nghiệm thuộc đoạn \([0; 2]\)**: Điều này có thể được biểu diễn qua hai điều kiện:
- \( f(0) = c \geq 0 \)
- \( f(2) = 4a + 2b + c \leq 0 \)

### Bước 1: Phân tích biểu thức \(P\)

Chúng ta sẽ tính toán và biến đổi biểu thức \(P\):

\[
P = \frac{8a^2 - 6ab + b^2}{4a^2 - 2ab + ac}
\]

### Bước 2: Xác định các giới hạn cho \(a\), \(b\), và \(c\)

Từ các điều kiện trên, ta có:

- Điều kiện \(b^2 - 4ac \geq 0\) tức là \(c \leq \frac{b^2}{4a}\).
- Từ \(c \geq 0\) và \(4a + 2b + c \leq 0\) dẫn đến \(c \leq -4a - 2b\).

### Bước 3: Kết hợp các điều kiện

Ta cần giải hệ bất phương trình:

1. \(c \geq 0\)
2. \(c \leq \frac{b^2}{4a}\)
3. \(c \leq -4a - 2b\)

Từ \( c \geq 0\) và \( c \leq -4a - 2b\), ta có:

\[
-4a - 2b \geq 0 \Rightarrow 4a + 2b \leq 0 \Rightarrow 2a + b \leq 0.
\]

### Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của \(P\)

Việc vấn đề tìm giá trị của \(P\) sẽ phụ thuộc vào các giá trị của \(a\) và \(b\) dưới các điều kiện trên. Để đạt được mục tiêu này, ta có thể thử các giá trị cụ thể cho \(a\) và \(b\) trong các điều kiện đã thiết lập.

### Bước 5: Tính giá trị cụ thể

Giả sử \(a = 1\), \(b = -2\):

- Tính \(c\):
\[
c \leq \frac{(-2)^2}{4 \cdot 1} = 1.
\]
- Chọn \(c = 0\) để thỏa mãn \(4a + 2b + c \leq 0\), ta có ứng với phương trình \(x^2 - 2x = 0\) sinh ra nghiệm \(x = 2\), \(x = 0\).

Lập lại giá trị \(P\):

\[
P = \frac{8(1)^2 - 6(1)(-2) + (-2)^2}{4(1)^2 - 2(1)(-2) + (1)(0)} = \frac{8 + 12 + 4}{4 + 4 + 0} = \frac{24}{8} = 3.
\]

### Kết luận

Giá trị lớn nhất của \(P\) là

\[
\boxed{3}.
\]