Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC, E là điểm đối xứng của A qua M. a) Chứng minh tứ giác ABEC là hình chữ nhật

Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các yêu cầu trong bài toán.

**a) Chứng minh tứ giác ABEC là hình chữ nhật:**

1. Trong tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC, nên \(BM = MC\).
2. A là điểm trong tứ giác ABEC, và E là điểm đối xứng của A qua M. Từ đó, ta có:
- \(AM = ME\) (tính chất của điểm đối xứng).
- \(AB = AC\) (tính chất tam giác vuông tại A).
3. Để chứng minh tứ giác ABEC là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng các cạnh AM và BE vuông góc với nhau.
4. Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), và \(E\) là đối xứng của \(A\) qua \(M\), nên \(AM \perp BE\).
5. Từ đó, tứ giác ABEC có các cạnh đối diện song song và có một cặp cạnh vuông góc, do đó ABEC là hình chữ nhật.

**b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành:**

1. D là điểm đối xứng của E qua C, nghĩa là \(CE = CD\) và \(C\) nằm giữa \(E\) và \(D\).
2. Chúng ta có \(AE = AM + ME = AM + AM = 2AM\) và \(AC = AM\) (vì \(M\) là trung điểm).
3. Vì ABEC là hình chữ nhật nên:
- \(AB \parallel EC\)
- \(AE = BE\)
4. Do đó, ta có:
\[
AB \parallel DC \quad \text{và} \quad AD \parallel BC
\]
5. Hai cặp cạnh đối diện song song, và
\[
AB = DC \quad \text{và} \quad AD = BC
\]
6. Từ đó suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

**c) Chứng minh HC vuông góc với HI:**

1. K là giao điểm của EH với AC. Khi EH vuông góc với AD, và AD song song với BC (do tứ giác ABCD là hình bình hành), thì EH cũng vuông góc với BC.
2. I là trung điểm của AK nên \(AI = IK\). Do đó, \(HI\) chia đoạn AK thành hai đoạn bằng nhau.
3. Trong tam giác HCA, với HA vuông góc với BC và AC, HI vuông góc với AC, sẽ tạo nên một cặp góc vuông tại C và điểm H nằm trên đường trung bình, nên HC và HI cũng vuông góc với nhau.
4. Do đó, chúng ta kết luận rằng \(HC \perp HI\).

Tóm lại, bài toán đã được chứng minh cho các yêu cầu a), b) và c).