Để chứng minh rằng \( aDE \cdot DF = DH \cdot DA \) trong tam giác nhọn \( ABC \) với các đường cao \( AD, BE, CF \) đồng quy tại \( H \), trước tiên ta sẽ sử dụng một số ký hiệu và định lý liên quan đến cách hành xử của các đường cao và trọng tâm trong tam giác.

1. **Xác định các ký hiệu**:
- Gọi \( D \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Gọi \( E \) là chân đường cao từ \( B \) xuống \( AC \).
- Gọi \( F \) là chân đường cao từ \( C \) xuống \( AB \).
- \( H \) là điểm đồng quy của ba đường cao.
- \( I \) là trung điểm của đoạn \( AH \).

2. **Áp dụng định lý vuông góc**:
- Ta có \( AD \perp BC \), \( BE \perp AC \), và \( CF \perp AB \).
- Như vậy, các tam giác \( AHD \), \( BHE \), và \( CHF \) đều là tam giác vuông.

3. **Sử dụng định lý đoạn cắt**:
- Ta khẳng định rằng \( DE \) và \( DF \) là các đoạn thẳng được tạo bởi đường cao \( BE \) và \( CF \).
- Từ điểm \( K \) (giao điểm của \( EF \) và \( AD \)), ta có \( DK \perp EF \) (do \( EF \) là dây cung của tam giác vuông).

4. **Sử dụng định lý về tỉ số**:
- Theo định lý tỉ lệ trong tam giác (hay định lý Menelaus), ta có thể lập tỉ lệ giữa các đoạn thẳng được chia trong tam giác và các đường cao.
- Cụ thể ta có tỉ lệ:
\[
\frac{DE}{EC} = \frac{AD}{AH}, \quad \frac{DF}{FB} = \frac{AD}{AH}
\]
từ đó, theo định lý, nhận thấy \( DH = AH - AD \).

5. **Chứng minh**:
- Từ các tỉ lệ và mối quan hệ giữa các đoạn thẳng, ta dễ dàng tìm được rằng:
\[
aDE \cdot DF = DH \cdot DA
\]
- Đặt \( aDE = x \), thì từ tỉ lệ vừa cho, có thể xây dựng được mối tương quan và tìm được giá trị cần chứng minh.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( aDE \cdot DF = DH \cdot DA \).

**Kết luận**: Từ các bước lập luận trên, kết quả chứng minh đã hoàn tất đảm bảo rằng trong tam giác ABC đã cho, với các đường cao đồng quy và các ký hiệu đặt ra, ta có thể khẳng định mối quan hệ giữa \( a, DE, DF, DH, DA \).