Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 6 cm, HC = 3HB. Ta cần tính các độ dài HB, HC, AB và AC.

1. **Tính HB và HC:**

Gọi HB = x, do HC = 3HB nên HC = 3x.

Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn HB và HC. Ta có:
\[
HB + HC = BC
\]
\[
x + 3x = 4x
\]
Do đó, BC = 4x.

2. **Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:**

Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[
AH^2 = HB \cdot HC
\]
Thay AH = 6 cm, HB = x và HC = 3x vào:
\[
6^2 = x \cdot 3x
\]
\[
36 = 3x^2
\]
\[
x^2 = 12
\]
\[
x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm}
\]

Vậy:
\[
HB = x = 2\sqrt{3} \text{ cm}
\]
\[
HC = 3x = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ cm}
\]

3. **Tính BC:**

\[
BC = 4x = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ cm}
\]

4. **Tính AB và AC:**

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
Gọi AB = a và AC = b. Ta có:
\[
a^2 + b^2 = (8\sqrt{3})^2
\]
\[
a^2 + b^2 = 192
\]

Ngoài ra, ta có các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[
AB^2 = HB \cdot BC
\]
\[
AC^2 = HC \cdot BC
\]

Tính AB:
\[
AB^2 = HB \cdot BC = 2\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 48
\]
\[
AB = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ cm}
\]

Tính AC:
\[
AC^2 = HC \cdot BC = 6\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 144
\]
\[
AC = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
\]

Vậy các độ dài cần tìm là:
- HB = \(2\sqrt{3}\) cm
- HC = \(6\sqrt{3}\) cm
- AB = \(4\sqrt{3}\) cm
- AC = 12 cm