Cho hình thang ABCD có AB // CD, góc A = góc D = 90o và OD = 2AB

Cho hình thang ABCD có AB // CD, góc A = góc D = 90° và OD = 2AB. Gọi H là hình chiếu của D lên AC, M và N lần lượt là trung điểm của HC và HD. Chứng minh:

a. \( MN = AB \)

b. Tứ giác ABMN là hình gì? Vì sao?

c. \( \angle BMD = 90^\circ \)

**Giải:**

**a. Chứng minh \( MN = AB \)**

- Gọi \( AB = a \), \( CD = b \), \( AD = h \).
- Vì \( AB \parallel CD \) và \( \angle A = \angle D = 90^\circ \), nên \( AD \) và \( BC \) là các đường thẳng đứng.
- Gọi \( H \) là hình chiếu của \( D \) lên \( AC \), tức là \( DH \perp AC \).
- Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( HC \) và \( HD \).

Ta có:
- \( H \) là hình chiếu của \( D \) lên \( AC \), nên \( DH \perp AC \).
- \( M \) là trung điểm của \( HC \), nên \( HM = MC \).
- \( N \) là trung điểm của \( HD \), nên \( HN = ND \).

Xét tam giác vuông \( HDC \):
- \( H \) là hình chiếu của \( D \) lên \( AC \), nên \( H \) nằm trên \( AC \).
- \( H \) chia \( AC \) thành hai đoạn bằng nhau, vì \( H \) là trung điểm của \( AC \).

Do đó, \( HC = HD \).

Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( HC \) và \( HD \) tương ứng, nên \( MN \) là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đoạn thẳng bằng nhau.

Do đó, \( MN = \frac{1}{2} HC = \frac{1}{2} HD = \frac{1}{2} AB = AB \).

Vậy, \( MN = AB \).

**b. Tứ giác ABMN là hình gì? Vì sao?**

- Tứ giác \( ABMN \) có \( AB \parallel MN \) và \( AB = MN \).

Do đó, tứ giác \( ABMN \) là hình bình hành.

**c. Chứng minh \( \angle BMD = 90^\circ \)**

- Xét tam giác \( BMD \):
- \( B \) nằm trên đường thẳng \( AB \).
- \( D \) nằm trên đường thẳng \( AD \).
- \( M \) là trung điểm của \( HC \).

Do đó, \( M \) nằm trên đường thẳng \( AC \).

- Xét tam giác vuông \( BMD \):
- \( \angle A = 90^\circ \).
- \( M \) là trung điểm của \( HC \).

Do đó, \( \angle BMD = 90^\circ \).

Vậy, \( \angle BMD = 90^\circ \).