Chúng ta có hệ phương trình tham số:

\[
\begin{cases}
mx - 2y = 2m \\
-2x + y = m + 1
\end{cases}
\]

a) Giải hệ phương trình với \( m = 1 \):

Thay \( m = 1 \) vào hệ phương trình, ta được:

\[
\begin{cases}
1x - 2y = 2 \\
-2x + y = 2
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Ta nhân phương trình thứ hai với 2:

\[
\begin{cases}
x - 2y = 2 \\
-4x + 2y = 4
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình lại:

\[
x - 2y - 4x + 2y = 2 + 4 \\
-3x = 6 \\
x = -2
\]

Thay \( x = -2 \) vào phương trình thứ hai:

\[
-2(-2) + y = 2 \\
4 + y = 2 \\
y = 2 - 4 \\
y = -2
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 1 \) là \( (x, y) = (-2, -2) \).

b) Tìm \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) thỏa mãn \( x = y \):

Giả sử \( x = y \), thay vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
mx - 2x = 2m \\
-2x + x = m + 1
\end{cases}
\]

Ta có:

\[
\begin{cases}
(m - 2)x = 2m \\
-x = m + 1
\end{cases}
\]

Từ phương trình thứ hai:

\[
-x = m + 1 \\
x = -m - 1
\]

Thay \( x = -m - 1 \) vào phương trình thứ nhất:

\[
(m - 2)(-m - 1) = 2m \\
-m^2 - m - 2m + 2 = 2m \\
-m^2 - 3m + 2 = 2m \\
-m^2 - 5m + 2 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
m^2 + 5m - 2 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( c = -2 \):

\[
m = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2} \\
m = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{2}
\]

Vậy \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) thỏa mãn \( x = y \) là:

\[
m = \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{-5 - \sqrt{33}}{2}
\]