Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh A hai mặt phẳng SAB và SBC cùng vuông góc với mặt

Để giải bài toán này, ta cần biết vị trí của các điểm trong không gian và tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAC).

**Bước 1: Xác định tọa độ các điểm:**

Giả sử:

- A(0, 0, 0)
- B(a, 0, 0)
- C(a, a, 0)
- D(0, a, 0)
- S( \(\frac{a}{2}\), \(\frac{a}{2}\), h)

Trong đó h sẽ được xác định bằng cách sử dụng độ dài SC.

**Bước 2: Tính h:**

Theo đề bài, \(SC = a\sqrt{5}\).

Tọa độ điểm C là (a, a, 0), do đó:

\[
SC = \sqrt{( \frac{a}{2} - a)^2 + ( \frac{a}{2} - a)^2 + (h - 0)^2}
\]

\[
SC = \sqrt{(\frac{-a}{2})^2 + (\frac{-a}{2})^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + h^2}
\]

Bằng cách thiết lập phương trình:

\[
\sqrt{\frac{a^2}{2} + h^2} = a\sqrt{5}
\]

Bình phương hai vế và giải ra h:

\[
\frac{a^2}{2} + h^2 = 5a^2
\]

\[
h^2 = 5a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{10a^2 - a^2}{2} = \frac{9a^2}{2}
\]

\[
h = \frac{3a}{\sqrt{2}}
\]

**Bước 3: Xác định mặt phẳng (SAC):**

Mặt phẳng (SAC) được xác định bởi ba điểm S, A, C. Vector pháp tuyến của mặt phẳng này có thể tính bằng cách lấy tích có hướng của hai vector SA và SC:

\[
\overrightarrow{SA} = A - S = (0, 0, 0) - \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{3a}{\sqrt{2}} \right) = \left( -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{3a}{\sqrt{2}} \right)
\]

\[
\overrightarrow{SC} = C - S = (a, a, 0) - \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{3a}{\sqrt{2}} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{3a}{\sqrt{2}} \right)
\]

Tích có hướng:

\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SC}
\]

Tính toán tích có hướng và sau đó sử dụng công thức khoảng cách từ điểm D(0, a, 0) đến mặt phẳng (SAC):

\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]

Trong đó (A, B, C) là các thành phần của vector pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) và D được xác định từ phương trình mặt phẳng.

**Bước 4: Tính khoảng cách:**

Sau khi có thông tin về mặt phẳng, ta chỉ cần tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAC) theo công thức trên.

Hy vọng các bước trên sẽ giúp bạn trong việc giải bài toán!