Để chứng minh các dãy số là cấp số cộng, chúng ta cần kiểm tra điều kiện của một cấp số cộng. Một dãy số \(u_n\) là cấp số cộng nếu có một số hằng số \(d\) (công sai) sao cho:

\[
u_{n} - u_{n-1} = d \quad \text{(với mọi n)}
\]

### Bài 1:

a) **Dãy số \( (u_n) \) với \( u_n = 2020 - 2021 \)**:

Tính \(u_n\):
\[
u_n = 2020 - 2021 = -1
\]
Dãy số này không thay đổi, nên mọi số hạng đều bằng \(-1\). Công sai \(d = u_n - u_{n-1} = -1 - (-1) = 0\). Dãy số này là cấp số cộng với công sai bằng 0.

b) **Dãy số \( (u_n) \) với \( u_n = -2n + 5 \)**:

Công thức của dãy số là:
\[
u_n = -2n + 5
\]

Tính:
\[
u_{n+1} = -2(n+1) + 5 = -2n - 2 + 5 = -2n + 3
\]

Tính công sai:
\[
u_{n+1} - u_n = (-2n + 3) - (-2n + 5) = 3 - 5 = -2
\]

Công sai \(d = -2\), dãy số này là cấp số cộng với công sai \(-2\).

### Bài 2:

Cho cấp số cộng có 8 số hạng, số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai \(d\) của cấp số cộng là bao nhiêu?

Số hạng thứ tám được tính bằng công thức:
\[
u_8 = u_1 + 7d
\]

Thay \(u_1 = 5\) và \(u_8 = 40\):
\[
40 = 5 + 7d
\]
\[
35 = 7d
\]
\[
d = 5
\]

Công sai \(d\) là 5.

### Bài 3:

Cho cấp số cộng có \(u_1 = 123\) và \(u_3 - u_1 = 84\). Tìm số hạng \(u_7\).

Từ \(u_3 - u_1\):
\[
u_3 = u_1 + 2d
\]
\[
u_3 - u_1 = 2d = 84 \implies d = 42
\]

Tìm \(u_7\):
\[
u_7 = u_1 + 6d
\]
\[
u_7 = 123 + 6 \times 42 = 123 + 252 = 375
\]

### Bài 4:

a) Tìm số hạng \(u_6\) và công sai:
\[
u_6 = 5u_2 \quad \text{và} \quad u_1 = 27, u_2 = 59
\]
Tính:
\[
u_6 = 5 \cdot 59 = 295
\]

b) Tính:
\[
u_3 = 2u_1 + 5 \implies u_3 = 2 \cdot 27 + 5 = 59
\]

c) Tìm:
\[
u_2 + u_4 - u_6 = -7 \implies u_4 = -7 - u_2 + u_6
\]

d) Giải hệ phương trình:
\[
u_3 = -8, \quad u_5 = 75 \implies 75 = 5u_2
\]

e) Tính:
\[
u_1^2 + u_2^2 = 155 \implies u_1 = 5 \implies u_2
\]

### Bài 5:

Cho cấp số cộng \( (u_n) \), biết \(u_1 = -5\), \(d = 2\). Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?

Tính số hạng \(n\):
\[
u_n = -5 + (n-1) \cdot 2 = 81 \implies 2(n-1) = 81 + 5 = 86
\]
\[
n-1 = 43 \implies n = 44
\]

Số 81 là số hạng thứ 44.