Để giải bài toán này, ta bắt đầu bằng cách sử dụng thông tin cho trước:

1. **Cho sin ABC = \(\frac{3}{5}\)** và \(BC = 20 \, \text{cm}\).
- Theo định nghĩa sin, ta có:
\[
\sin ABC = \frac{AH}{BC}
\]
- Vậy:
\[
AH = BC \cdot \sin ABC = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12 \, \text{cm}
\]

2. **Tính các cạnh AB và AC**:
- Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:
\[
AB^2 + AH^2 = AC^2
\]
- Với:
\[
HC = \sqrt{BC^2 - AH^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \, \text{cm}
\]
- Do đó, ta có:
\[
AB = AH \cdot \frac{AB}{AH} = AH \cdot \frac{3}{5} = 12 \cdot \frac{3}{5} = 7.2 \, \text{cm}
\]
- Và:
\[
AC = AH \cdot \frac{16}{20} = 12 \cdot \frac{4}{5} = 9.6 \, \text{cm}
\]

3. **Tính BH**:
- Trong tam giác vuông ABH:
\[
BH = BC - AC = 20 - 9.6 = 10.4 \, \text{cm}
\]

4. **Tính gốc ACB**:
- Sử dụng định nghĩa cos, ta có:
\[
\cos ACB = \frac{AC}{BC} = \frac{9.6}{20} = 0.48
\]
- Áp dụng hàm lượng giác để tìm gốc ACB:
\[
ACB = \arccos(0.48)
\]
- Khoảng giá trị sẽ được tính trên máy tính hoặc với bảng lượng giác.

**Tóm lại**:

- \(AB \approx 12 \, \text{cm}\)
- \(AC \approx 9.6 \, \text{cm}\)
- \(BH \approx 10.4 \, \text{cm}\)
- \(Góc ACB \approx \arccos(0.48) \approx 62.23^\circ\) (khoảng tính).